Математическая энциклопедия - периодическое решение

обыкновенного дифференциального уравнения или системы решение, периодически зависящее от независимого переменного t. Для П. p. x(t).(в случае системы х - вектор) имеется такое число , что х(t+T)=x(t).при всех . Всевозможные такие Тназ. периодами данного П. р.; при этом из непрерывности x(t)следует, что либо x(t). не зависит от t, либо всевозможные периоды являются целочисленными кратными одного из них минимального периода Т 0>0. Говоря о П. р., часто подразумевают, что имеет место второй случай, а о Т 0 говорят просто как о периоде.

П. р. рассматривают обычно для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, правые части к-рых либо не зависят от t(автономная система).

(1) где U - область в Rⁿ, либо зависят от tпериодически:

(2)

(У систем с иным характером зависимости правых частей от tчаще всего нет П. р.) В случае системы (2) период Т 0 П. р. обычно совпадает с периодом Т 1 правой части или является целочисленным кратным T1;другие Т 0 возможны лишь в исключительных случаях. П. р. с периодом T0=kT1, k>l, описывают субгармонич. колебания (см. Вынужденные колебания).и потому сами иногда наз. субгармоническими П. р. (или субгармониками).

Система (2) определяет наследования отображение F (зависящее от выбора начального момента t0): если решение системы (2) с начальным значением , то

Свойства системы (2) тесно связаны со свойствами F;в частности, значение при t=t0 П. р. с периодом kT1 является при k=1 неподвижной точкой отображения F, а при k>1 его периодич. точкой периода k, т. е. неподвижной точкой для итерации F^k. Изучение П. р. в значительной степени сводится к исследованию соответствующей неподвижной (или периодической) точки отображения исследования.

Для автономной системы (1) используется следующая модификация этой конструкции: в фазовом пространстве в какой-либо точке траектории рассматриваемого П. р. (она является замкнутой кривой) берут какое-нибудь локальное сечение, т. е. гладкую площадку П коразмерности 1, трансверсальную к этой траектории, и рассматривают отображение, переводящее точку в первую по времени точку пересечения с П исходящей из x траектории системы (1).

Поведение решений, близких к данному П. р., описывается в линейном приближении соответствующей системой уравнений в вариациях. Коэффициенты этой линейной системы в данном случае периодически зависят от t, и поэтому можно говорить о соответствующих монодромии операторе и мультипликаторах. О последних говорят как о мультипликаторах данного П. р. Линейное приближение определяет свойства П. р. (устойчивость, инвариантные многообразия) примерно в той же степени, как и для равновесия положений.

П. р. автономной системы (1) имеют нек-рые специфич. особенности: один из мультипликаторов всегда равен единице (если П. р. не сводится к константе), что приходится, в частности, учитывать при исследовании устойчивости этих П. р. (см. Андронова Витта теорема);период может измениться при малом возмущении, что приходится учитывать в возмущений теории.

Отыскание П. р. и исследование их свойств представляет интерес не только с чисто математич. точки зрения, но и потому, что при математич. описании реальных физич. систем их периодич. режимы обычно соответствуют П. р. ( см. Автоколебания, Вынужденные колебания, Колебаний теория, Нелинейные колебания, Релаксационное колебание). Однако эта задача очень трудна так, не имеется никаких общих методов, к-рые позволили бы устанавливать, существуют ли П. р. у конкретной системы. В различных случаях используются различные соображения и методы. Многие из них относятся к возмущений теории( гармонического баланса метод, Крылова Боголюбова метод усреднения, Малого параметра метод), к к-рой примыкает также исследование бифуркаций;другие К качественной теории дифференциальных уравнений. Последняя, в частности, устанавливает особую роль П. р. для системы (1) при п=2:в этом случае П. р. вместе с нек-рыми другими типами решений полностью определяют поведение всех решений вообще (см. также Предельный цикл). В связи с этим имеется ряд специальных результатов о П. р. таких систем (напр., о П. р. Ван дер Поля уравнения и его обобщений или модификаций Лъенара уравнения, Рэлея уравнения).

Д. В. Аносов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985