Математическая энциклопедия - перевала метод

метод вычисления асимптотики интегралов вида

(*)

где большой параметр, у контур в комплексной плоскости z, функции f(z).и S(z) голоморфны в области D, содержащей у. Нули функции S'(z) наз. точками перевала функции S(z); точка перевала седловая точка поверхности U== Re S(x+y). Суть П. м. состоит в следующем. Контур g деформируется в контур с теми же концами, лежащий в Dи такой, что достигается только в точках перевала или на концах (перевальный контур). Асимптотика интеграла (*) по перевальному контуру вычисляется с помощью Лапласа метода и равна сумме вкладов от указанных точек максимума. Вклад от точки z0 это интеграл вида (*), взятый по малой дуге контура , содержащей точку z0. Если z0 внутренняя точка контура точка перевала и , то

Перевальный контур обладает минимаксным свойством: на нем достигается

где минимум берется по всем контурам , лежащим в Dи имеющим те же концы, что и g. Основная трудность при применении П. м.отбор точек перевала, т. е. выбор перевального контура , отвечающего g.

П. м. восходит к П. Дебаю [1]; идеи этого метода были высказаны ранее Б. Риманом (см. [2]). Вычисление вкладов от точек перевала и от концов контура см. в [3] [9].

П. м.по существу единственный метод, позволяющий вычислять асимптотику интегралов вида (*). С его помощью вычислены асимптотики преобразований Лапласа, Фурье, Меллина, экспоненты от полинома, многих специальных функций.

Пусть ограниченное многообразие с краем размерности пи класса , функции f(z), S(z).голоморфны в нек-рой области D, содержащей g, и dz=. Пусть достигается только в одной точке z⁰, к-рая является внутренней точкой g и невырожденной точкой перевала функции S(z), т. е. . Тогда вклад от z⁰ равен

Лит.:[1] Dеbуе P., "Math. Ann.", 1909, Bd 67, S. 535-58; [2] Риман Б., Сочинения, пер. с нем., М.Л., 1948; [3] Эрдейи А., Асимптотические разложения, пер. с англ., М., 1962; [4] Брейн Н. Г., Асимптотические методы в анализе, пер. с англ., М., 1961; [5] Евграфов М. А., Асимптотические оценки и целые функции, 2 изд., М., 1962; [6] Копсон Э.-Т., Асимптотические разложения, пер. с англ., М., 1966; [7] Оlvеr F. W. J., Asymptotics and special functions, N. Y. [a. o.], 1974; [8] Риекстыньш Э. Я., Асимптотические разложения интегралов, т. 1-2, Рига, 1974-77; [9] Федорюк М. В., Метод перевала, М., 1977. М. В. Федорюк.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985