Математическая энциклопедия - превосходное кольцо

коммутативное нётерово кольцо, удовлетворяющее трем приводимым ниже аксиомам. Известно, что геометрические кольца обладают рядом качественных свойств, не присущих произвольным нётеровым кольцам. Понятие П. к. позволяет в аксиоматик, форме учесть важнейшие из этих свойств.

Аксиомы П. к. А.

А1. Кольцо Ауниверсально цепное. (Кольцо Аназ. цепным, если для любых двух его простых идеалов длины любых неуплотняемых цепочек простых идеалов совпадают. Кольцо Аназ. универсально цепным, если цепным является любое кольцо многочленов A[T1 ,..., Tk].)

А2. Формальные слои кольца Аявляются геометрически регулярными, т. е. для любого простого идеала и гомоморфизма из Ав поле Ккольцо регулярно. Здесь пополнение локального кольца .

A3. Для любой целостной конечной A-алгебры Внайдется ненулевой элемент такой, что кольцо частных В[b^-1] регулярно.

П. к. обладают следующими свойствами.

1) Для П. к. Л множество регулярных (соответственно нормальных) точек схемы Spec Аоткрыто.

2) Если превосходное локальное кольцо Априведенное (соответственно нормальное, равноразмерное), то таким же будет пополнение .

3) Целое замыкание П. к. Ав конечном расширении поля частных кольца Аявляется конечной А-алгеброй.

4) Если кольцо Апревосходное, то любая A-алгебра конечного типа также П. к.

Два важнейших примера П. к.полные локальные кольца (или аналитич. ольца) и дедекиндовы кольца с нолем частных нулевой характеристики. Таким образом, класс П. к. достаточно широк и, в частности, содержит все алгебры конечного типа над полем или над кольцом целых чисел .

Превосходность кольца Атесно связана с возможностью разрешения особенностей схемы Spec А(см. [1], [2]).

Лит.:[1] Grothendieck A. [Dieudonne J.], Elements de geometrie algebrique, pt. 2, P., 1965; E2] Xирoнака X., "Математика", 1965, т. 9, № 6, с. 3-70.

В. И. Данилов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985