Математическая энциклопедия - проекционные методы

методы отыскания приближенного решения операторного уравнения в заданном подпространстве, основанные на проектировании уравнения на нек-рое (вообще говоря, другое) подпространство. П. м. являются основой построения различных вычислительных схем решения краевых задач, в том числе метода конечных элементов и метода коллокации.

Пусть Lоператор, область определения D(L).к-рого лежит в банаховом пространстве X, а область значений R(L) - в банаховом пространстве Y. Для решения уравнения

Lx = y(1)

проекционным методом выбирают две последовательности подпространств { Х п}и {Yn},

а также проекторы Р п, проектирующие Yна Yn. Уравнение (1) заменяется приближенным

(2)

В случае X=Y, Xn=Yn, n=1; 2, . . . П. м. (2) принято называть методом Галерки на (иногда последний метод трактуется более широко, см. Галер-кина метод).

Имеет место теорема сходимости П. м. для линейных уравнений (для случая конечномерных подпространств Х n и Yn). Пусть Lлинеен и переводит D (L).на R(L).взаимно однозначно, причем D(L).и R(L).плотны в Х и Y соответственно; подпространства Х п и Yn конечномерны, dimXn=dim Yn, n=1, 2, . . ., а проекторы Р п ограничены равномерно по п, то есть || Р n||c=const, n=1, 2, . . . Тогда следующее условие а) равносильно набору условий б) и в):

а) начиная с нек-рого п= п 0 существует единственное решение х п уравнения (2) и ||Lxn-y||.0 при любом ;

б) последовательность подпространств LХ п предельно плотна в Y, т. е. расстояние d(y, LХ n).О при для ;

в) , где .

Быстрота сходимости при соблюдении условий б) и в) характеризуется неравенством

(3)

В случае, когда пространства Xи Y гильбертовы, а Р п и Qn - ортопроекторы, проектирующие Y соответственно на Yn и LXn, условие в) равносильно условию

в') , где qn=|| Р n-Qn|| раствор подпространств Yn и LXn;вместо (3) получается оценка

В случае Yn=LXn (метод наименьших квадратов) qn=0, n=1, 2, . . ., и критерием сходимости является условие б).

Теорема дает условие сходимости невязки ||L х п -у||. Если L^-1 ограничен и , то из сходимости невязки следует сходимость самих приближении х п к решению x=L^-1y у равнения (1). Из теоремы можно извлечь удобный критерий сходимости метода Галеркина; для метода Галеркина Петрова следует дополнительно наложить условие типа в').

Пусть l - линейная ограниченная форма, а а билинейная ограниченная форма на действительном гильбертовом пространстве Н(или полуторалинейная в случае комплексного Н). Допускается, что апредставима в виде , так что

а билинейная форма bвполне непрерывна, т. е. слабые сходимости в Нвлекут за собой сходимость (симметричность форм а, не обязательна). Пусть поставлена задача: найти такое, что

. (4)

Метод Галеркина решения задачи (4) заключается в следующем. Выбирают какие-нибудь (замкнутые) подпространства , n=1, 2, . . ., и находят такое, что

(5)

Имеет место следующая теорема: пусть {Hn} предельно плотна в H, выполнены наложенные выше на аусловия, и задача (4) имеет единственное решение (равносильное условие: однородная задача отыскания ииз условия имеет лишь тривиальное решение u=0); тогда задача (5) при всех достаточно больших пимеет единственное решение и с оценкой

где О п - ортопроектор, проектирующий Нна Hn, с=const.

В применении к краевым задачам для уравнений эллиптич. типа в качестве Н, как правило, выбирается энергетич. пространство главной части соответствующего дифференциального оператора.

Лит.:[1] Красносельский М. А. [и д р.], Приближенное решение операторных уравнений, М., 1969.

Г. М. Вайникко.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985