Математическая энциклопедия - проективная дифференциальная геометрия

раздел геометрии, изучающий дифференциально-геометрические свойства кривых и поверхностей, сохраняющихся при проективных преобразованиях. Таковы, напр., понятия асимптотич. направления или, более общо, сопряженных направлений, соприкасающейся квадрики (в частности, квадрики Ли, пучка квадрик Дарбу и т. п.), проективной нормали и т. д. Важную роль в П. д. г. играет двойственности принцип, так, напр., поверхность в проективном пространстве может рассматриваться и как двухпараметрич. семейство точек, и как огибающая двухпараметрич. семейства плоскостей. Разработанными разделами П. д. г. являются (проективная) теория прямолинейных конгруэнции, вопросы проективного изгибания, асимптотич. преобразования (в частности, преобразования Бэклунда, Бианки, Эйзенхарта, Лапласа и др.).

Первые исследования по П. д. г. начались в кон. 19 в.; здесь особенно важны работы Г. Дарбу (G. Darboux) по теории поверхностей и конгруэнции. Первой книгой, где систематически изложена классич. П. д. г., явилась работа [1]. В дальнейшем появились монографии [2], [3], [4], в к-рых П. д. г. предстает уже широко развитой геометрич. теорией, связанной с другими разделами геометрии и имеющей широкие приложения, напр. в теории дифференциальных уравнений (в особенности нелинейных, что выяснилось в последнее время при "бесквадратурном" получении их решений путем аналогов асимптотич. преобразований, см., напр., Синус Гордона уравнение).

Г. фубини (G. Fubini) и Э. Чех (Е. Cech) дали изложение П.'д. г. в тензорной форме, используя ковариантное дифференцирование и положив в основу фундаментальные формы (см., напр., Фубини форма). Так была решена задача проективно инвариантного оснащения поверхности 3-мерного пространства. Большой вклад в П. д. г. внесен С. П. Финиковым и его школой, в особенности это касается теории конгруэнции и теории пар конгруэнции и их преобразований. Проблема проективно инвариантного оснащения многообразия в многомерном проективном пространстве исследовалась Г. Ф. Лаптевым и др.

Эффективным средством изучения П. д. г. многомерных пространств является метод нормализации А. П. Нордена [6]. В этом методе с каждой точкой х m -мерной поверхности Х т проективного пространства Р п ассоциируется инцидентная х( п-m )-мерная плоскость (нормаль 1-го рода), пересекающая касательную плоскость в единственной точке x, а в касательной m-мерной плоскости выбирается (m-1)-мерная плоскость (нормаль 2-го рода), не инцидентная точке х. При этом на поверхности Xm индуцируется аффинная связность без кручения, свойства к-рой зависят как от строения Х m, так и от выбора нормализации. В случае нормализованной гиперповерхности возникает двойственная конструкция, приводящая к внутренним связностям без кручения 1-го и 2-го рода, сопряженным относительно асимптотич. тензора гиперповерхности. При специальном выборе нормализации в общую схему включается дифференциальная геометрия пространств, отвечающих подгруппам проективной группы: аффинных, биаксиальных, неевклидовых и евклидовых пространств.

Наконец, в работах Э. Картана (Е. Cartan) построена общая теория пространств проективной связности. Г. Ф. Лаптев, используя метод внешних форм, исследовал их как расслоенные пространства, структурная группа к-рых является группой проективных преобразований проективного пространства.

Лит.:[1] Wilczynski F., "Mem. publ. Acad. Belgique", 1911, t. 3, pt. 2; [2] Fubini G., Сесh E., Geometria proiectiva differenziale, t. 1-2, Bol., 1926-27; [3] Bol G., Projectlve Ditferentialgeometrie, t. 1-3, Gott., 1950-67; [4] Фиников С. П., Проективно дифференциальная геометрия, М.Л., 1937; [5] его же, Теория конгруэнции, М.Л., 1950; [6] Норден А. П., Пространства аффинной связности, 2 изд., М., 1976; [7] Каган В. Ф., Основы теории поверхностей в тензорном изложении, ч. 2, М.Л., 1948.

А. П. Норден, А. П. Широков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985