Математическая энциклопедия - проективный объект

категории понятие, формализующее свойства ретрактов (или прямых слагаемых) свободных групп, свободных модулей и т. п. Объект Ркатегории наз. проективным, если для всякого эпиморфизма и произвольного морфизма найдется такой морфизм , что g=g'v Другими словами, объект Рпроективен, если основной функтор Нр (Х)=Н( Р, X).из в категорию множеств переводит эпиморфизмы из в эпиморфизмы категории , т. е. в сюръективные отображения.

Примеры. 1) В категории множеств всякий объект проективен. 2) В категории групп проективны свободные группы и только они. 3) В категории левых модулей над ассоциативным кольцом L с единицей модуль проективен тогда и только тогда, когда он является прямым слагаемым свободного модуля. Описание колец, над к-рыми всякий проективный модуль свободен, составляет содержание проблемы Серра. 4) В категории все модули проективны тогда и только тогда, когда кольцо L классически полупросто. 5) В категории функторов из малой категории в категорию множеств каждый объект проективен тогда и только тогда, когда дискретная категория.

В определении П. о. иногда предполагают, что функтор Н р переводит в сюръективные отображения не все эпиморфизмы, а морфизмы выделенного класса В частности, если класс допустимых эпиморфизмов бикатегории . то Р ваз. допустимым проективным объектом. Напр., в нек-рых многообразиях групп свободные группы этого многообразия являются допустимыми П. о. относительно класса всех сюръективных гомоморфизмов, но не являются П. о., поскольку существуют несюръек-тивные эпиморфизмы.

Дуальным к понятию ГГ. о. является понятие и н ъ-ективного объекта. Фундаментальная роль проективных и ияъективных объектов была выявлена при построении гомологич. алгебры. В категориях модулей всякий модуль представим в виде фактор-модуля проективного модуля. Это свойство позволяет строить т. н. проективные резольвенты и исследовать различные типы гомологич. размерности.

Лит.:[1] К а р т а н А., Эйленберг С., Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960; [2] Маклейн С., Гомология, пер. с англ., М., 1966. М. Ш. Цоленко.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985