Математическая энциклопедия - римана сфера

сфера в евклидовом пространстве (x, h, t), на к-рую расширенная комплексная плоскость отображается взаимно однозначно и конформно при помощи стереографической проекции. Напр., в качестве Р. с. можно взять единичную сферу

а плоскость совместить с плоскостью t=0так, чтобы действительная ось совпала с осью h=0, t=0,aмнимая ось с осью (см. рис.). Каждой точке при стереографич. проекции соответствует точка сферы

,

получающаяся как точка пересечения луча со сферой S2,

проведенного из северного полюса сферы Р(0, 0, 1) в точку z; бесконечно удаленной точке соответствует северный полюс Р(0,0, 1). Аналитически это соответствие выражается формулами

(*)

Иначе говоря, соответствие (*) определяет дифференцируемое вложение одномерного комплексного проективного пространства в пространство в виде сферы S2. Во многих вопросах теории функций расширенную комплексную плоскость отождествляют с Р. с. От исключительной роли бесконечно удаленной точки плоскости можно избавиться, если за расстояние между двумя точками принять х о р д а л ь н о е, или с ф е р и ч е с к о е, р а с с т о я н и е c (z, w) между их образами :

Вложение многомерного комплексного проективного пространства , в пространство можно осуществить при помощи формул комплексно n-мерной стереографич. проекции, обобщающих формулы (*) (см. [2]).

Лит.:[1] Ш а б а т Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 1-2, М., 1976; [2] Ф у к с Б. А., Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных, [2 изд.], М., 1962. Е. Д. Соломенцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985