Математическая энциклопедия - римана тензор

четырехвалентный тензор, рассматриваемый в теории кривизны пространств. Пусть Ln - пространство аффинной связности, объект связности пространства Ln, компоненты (координаты) Р. т., один раз контравариантного и трижды ковариантного, имеют вид

где символ дифференцирования по пространственной координате . В римановом пространстве Vn с основным метрич. тензором gij-, кроме тензора , рассматривается четырежды ковари-антный Р. т., получаемый опусканием верхнего индекса с помощью метрич. тензора gij.

Здесь , так как Vn снабжено римановой связностью (без кручения). В произвольном пространстве с аффинной связностью без кручения координаты Р. т. удовлетворяют т о ж д е с т в у Р и ч ч и

т. е. циклирование по трем первым (нижним) индексам дает нуль.

Р. т. обладает следующими свойствами:

если оба индекса одной пары одинаковы, то соответствующая координата равна нулю: ;

5) для абсолютных производных Р. т. имеет место т о ж д е с т в о Б и а н к и

где символ ковариантного дифференцирования по координате х ^т. Аналогичное тождество имеет место и для тензора ,ij.

Р. т. имеет всего n⁴ координат, где п - размерность пространства, из них n²(n²-1)/12 существенных, между к-рыми нет тождественных зависимостей, вытекающих из указанных свойств.

В случае п=2Р. т. имеет одну существенную координату R12,12, к-рая входит в определение внутренней, или римановой, кривизны поверхности (см. Гауссова кривизна).

Р. т. был определен Б. Риманом (В. Riemann) в 1861 (опубл. в 1876).

Лит.:[1] Р а ш е в с к и й П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; [2] Э й з е н х а р т Л. П., Риманова геометрия, пер. с англ., М., 1948; [3] Г р о м о л Д., К л и н г е н б е р г В., М е й е р В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971. Л. А. Сидоров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985