Математическая энциклопедия - римана метод

Р и м а н а В о л ь т е р р а м е т о д,метод решения Гурса задачи и Коши задачи для линейных гиперболич. типа уравнений 2-го порядка с двумя независимыми переменными

(1)

В P.M. фундаментальную роль играет ф у н к ц и я Р и м а н а , к-рая при определенных предположениях относительно заданных функций а, b, с и f однозначно определяется как решение специальной задачи Гурса:

для сопряженного уравнения

Функция Rпо переменным является решением однородного уравнения

При а= b= 0, c= const функция , где функция Бесселя порядка нуль.

Функцию Римана можно определить как решение нагруженного интегрального уравнения Вольтерра:

(2)

Р. м. решения задачи Гурса реализуется следующим образом: для любой дифференцируемой до соответствующего порядка функции и = и( х, у )имеет место тождество

из к-рого интегрированием по частям получается, что любое решение иуравнения (1) представляет собой решение нагруженного интегрального уравнения:

(3)

Из (3) непосредственно вытекает корректность задачи Гурса

для уравнения (1).

Р. м. приводит решение задачи Коши для уравнения (1) с начальными данными на любой гладкой нехарактеристич. кривой к нахождению функции Римана и дает возможность в квадратурах выписать решение этой задачи.

Р. м. обобщен на широкий класс линейных гиперболич. уравнений и систем.

Для случая гиперболич. типа системы линейных уравнений с частными производными 2-го порядка

где а, b, с - заданные действительные квадратные симметрич. матрицы порядка заданный, а искомый векторы, м а т р и ц а Р и м а н а однозначно определяется как решение системы нагруженных интегральных уравнений Вольтерра вида (2), в правой части к-рой стоит единичная матрица I порядка т.

В. Вольтерра (V. Volterra) впервые обобщил Р, м. на волновое уравнение

(4)

Роль функции Римана, позволяющей выписать в квадратурах решение задачи Коши с начальными данными на плоскости t=const и задачи Гурса с данными на характеристич. конусе для уравнения (4), играет функция

где

Метод предложен Б. Риманом (В. Riemann, 1860). Лит.:[1] Б и ц а д з е А. В., Уравнения смешанного типа, М., 1959; [2] К у р а н т Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964; [3] С м и р н о в В. И., Курс высшей математики, 5 изд., т. 4, М., 1958. А. М. Нахушев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985