Математическая энциклопедия - риманова кривизна

мера отличия метрик риманова и евклидова пространств. Пусть М - точка риманова пространства, F - двумерная регулярная поверхность , проходящая через M, Lпростой замкнутый контур на F, проходящий через М,s - площадь участка поверхности, ограниченного контуром L. Пусть произвольный вектор а ⁱ, касательный к поверхности F (т. е. линейно выражающийся через векторы ), перенесен параллельно по L. Тогда составляющая перенесенного вектора, касательная к F, окажется повернутой по отношению к а ⁱ на угол j (положительное направление отсчета углов должно совпадать с направлением обхода L). Если при стягивании Lв точку Мсуществует предел

то он наз. р и м а н о в о й к р и в и з н о й ( кривизной риманова пространства) в данной точке в направлении двумерной поверхности; Р. к. зависит не от поверхности, а лишь от ее направления в точке М, т. е. от направления двумерной плоскости касательного евклидова пространства, содержащего векторы

Р. к. Ксвязана с тензором кривизны формулой

где

причем параметры и, v выбраны так, что площадь параллелограмма, построенного на векторах , равна 1.

По материалам ст. Риманова геометрия в БСЭ-3.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985