Математическая энциклопедия - риманова метрика

метрика пространства, задаваемая положительно определенной квадратичной формой. Если в пространстве Vn введена локальная система координат (x¹, ... , х ⁿ )и в каждой точке Х(х ¹, ... , ... , х ⁿ) определены функции gij(X), i, j=1, 2, ... , n, det (gij)>0, gij(X)=gji(X), являющиеся компонентами ковариантного симметричного тензора второй валентности, то этот тензор наз. о с н о в н ы м м е тр и ч е с к и м т е н з о р о м пространства Vn. С помощью основного тензора выражается длина ds контравариантного вектора (dx¹,... , dxⁿ):

форма является положительно определенной квадратичной формой. Метрика пространства Vn , определенная с помощью формы ds², наз. римановой, а пространство с введенной в нем Р. м. наз. римановым пространством. Задание Р. м. на нек-ром дифференцируемом многообразии означает задание на этом многообразии евклидовой структуры, дифференцируемым образом зависящей от точки.

Р. м. является обобщением первой квадратичной формы поверхности в трехмерном евклидовом пространстве внутренней метрики поверхности. Геометрия пространства Vn , основанная на определенной Р. м., наз. римановой геометрией.

Существуют обобщения понятия Р. м. Так, псевдориманова метрика определяется с помощью неопределенной квадратичной формы (см. Псевдориманово пространство и Относительности теория). Вырожденная Р. м., то есть метрич. форма, определенная с помощью функций gij(X), для к-рых det (gij) = 0, определяет нек-рое полуриманово пространство.

Лит.:[1] Э й з е н х а р т Л. П., Риманова геометрия, пер. с англ., М., 1948; [2] Р а ш е в с к и й П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; [3] Р и м а н Б., О гипотезах, лежащих в основании геометрии, пер. с нем., в кн.: Об основаниях геометрии, М., 1956. Л. А. Сидоров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985