Математическая энциклопедия - римановых поверхностей конформные классы

классы, состоящие из конформно эквивалентных римановых поверхностей. Замкнутые рима-новы поверхности (р. п.) имеют простой топологич. инвариант род g;при этом любые две поверхности одного рода гомеоморфны. В простейших случаях топологич. эквивалентность двух р. п. обеспечивает и их принадлежность к одному и тому же Р. п. к. к., то есть конформную эквивалентность, или, говоря иначе, совпадение их конформных структур. Это выполняется, напр., для поверхностей рода 0, то есть гомеоморфных сфере. В общем случае дело обстоит не так. Еще Б. Риман (В. Riemann) заметил, что классы конформной эквивалентности р. п. рода g>1 зависят от 3g-3 комплексных параметров, называемых модулями римановых поверхностей;для конформно эквивалентных поверхностей эти модули совпадают. Случай g=1 описан ниже. Если же рассматривать компактные р. п. рода gс n иналитич. компонентами края, то для их конформной эквивалентности требуется совпадение 6g-6+Зn действительных параметров-модулей . В частности, для n-связных плоских областей таких модулей 3n-6; всякая двусвязная плоская область конформно эквивалентна кольцу с определенным отношением радиусов.

Указанное выше замечание Б. Римана послужило истоком классич. п р о б л е м ы м о д у л е й р. п., к-рая заключается в том, чтобы изучить природу этих параметров и, если возможно, ввести их так, чтобы они определяли на множестве р. п. данного рода g комплексно-аналитич. структуру. Имеются два подхода к проблеме модулей: алгебраический и аналитический. Алгебраич. подход связан с изучением полей K(S)мероморфных функций на р. п. S. В случае замкнутой поверхности K(S)есть поле алгебраич. функций (для g=0-это поле рациональных, а для g=1 - поле эллиптич. функций). Каждая замкнутая р. п. Sконформно эквивалентна р. п. нек-рой алгебраич. функции, определяемой уравнением , где Р - неприводимый многочлен над . Это уравнение задает плоскую алгебраич. кривую X, и поле рациональных функций на Xотождествляется с полем мероморфных функций на S. Конформной эквивалентности р. п. соответствует бирациональная эквивалентность (совпадение) полей их алгебраич. функций или, что равносильно, бирациональная эквивалентность определяемых этими поверхностями алгебраич. кривых.

Аналитич. подход опирается на геометрические и аналитич. свойства р. п. Оказывается удобным ослабить конформную эквивалентность р. п., наложив топологич. ограничения. Вместо р. п. Sданного рода берутся пары (S, f), где f гомеоморфизм фиксированной поверхности S0 рода gна S;две пары (S, f), (S', f') считаются эквивалентными, если существует такой конформный гомеоморфизм , что отображение

гомотопно тождественному. Множество классов эквивалентности {(S, f)} наз. пространством Т а й х м ю л л е р а T(S0 )поверхности S0. В Т(S0 )вводится метрика с помощью квазиконформных гомеоморфизмов . Аналогичным образом определяется пространство Тайхмюллера и для некомпактной р. п., но тогда берутся только квазиконформные гомеоморфизмы f. Для замкнутых поверхностей S0 данного рода gпространства T(S0 )изометрически изоморфны, и можно говорить о пространстве Тайхмюллера Tg поверхностей рода g. Пространство RgP. п. к. к. рода gполучается факторизацией Tg по нек-рой счетной группе Г g его автоморфизмов, называемой модулярной группой. Наиболее простым является случай поверхностей рода 1 торов. Каждый тор Sпосле конформного отображения его универсальной накрывающей на комплексную плоскость представляется в виде , где G - группа сдвигов с двумя образующими w1, w2 такими, что ; при этом два тора Sи S' конформно эквивалентны тогда и только тогда, когда отношения и соответствующих образующих связаны модулярным преобразованием

В качестве (комплексного) модуля данного Р. п. к. к. {S} можно взять значение эллиптической модулярной функции J(t). Пространство Тайхмюллера Т 1 совпадает с полуплоскостью , Г 1 есть эллиптическая модулярная группа , а R1=T1/Г 1 риманова поверхность, конформно эквивалентная . Все эллиптич. кривые (и поверхности рода 1) допускают одновременную униформизацию с помощью функции Вейерштрасса и ее производной