Математическая энциклопедия - риманова область

к о м п л е к с н о е (а н ал и т и ч е с к о е) м н о г о о б р а з и е н а д ,аналог римановой поверхности аналитич. функции w=f(z) одного комплексного переменного z для случая аналитич. ции w=f(z), z=(z1; . . . , zn), многих комплексных переменных

Точнее, линейно связное хаусдорфово топологич. пространство Rназ. (а б с т р а к т н о й) р и м а н о в о й областью, если существует локальный гомеоморфизм (п р о е к ц и я) такой, что для каждой точки существует окрестность , гомеоморфно отображающаяся на нек-рый поликруг

в комплексном пространстве . P.o. сепарабельна.

Комплексная функция gназ. г о л о м о р ф н о й на R, если для любой точки функция от n комплексных переменных zl ..., zn голоморфна в соответствующем поликруге D(z⁰; e). Проекция p задается набором n голоморфных функций p=(p1,...,pn), соответствующих координатам zl ..., zn в . Исходя из данного регулярного элемента аналитич. ции , ее Р. о. строится аналогично тому, как строится риманова поверхность данной аналитич. ции одного комплексного переменного, т. е. сначала посредством аналитич. родолжения строится полная аналитическая функция , а затем с помощью окрестностей вводится топология на множестве элементов полной аналитич. ции. Так же, как и римановы поверхности, Р. о. неизбежно возникают при аналитич. родолжении данного элемента аналитич. ции, когда полную аналитич. цию стремятся представить, следуя идеям Б. Римана (В. Riemann), как однозначную функцию точки соответствующей Р. о.

В частности, P.o. возникают как многолистные голоморфности области аналитич. функций многих комплексных переменных. Т е о р е м а О к а утверждает, что Р. о. является областью голоморфности тогда и только тогда, когда она голоморфно выпукла (см. Голоморфно выпуклое комплексное пространство).

Современное изучение P.o. проводится в рамках общей теории аналитич. ространств. Обобщение понятия области голоморфности приводит к Штейна пространствам.

Лит.:[1] Ш а б а т Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 2, М., 1976; [2] Г а н н и н г Р., Р о с с и X., Аналитические функции многих комплексных переменных, пер. с англ., М., 1969; [3] X е р м а н д е р Л., Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных, пер. с англ., М., 1968.

Е. Д. Соломенцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985