Математическая энциклопедия - римана теорема

1) Р. т. о к о н ф о р м н о м о т о б р а ж е н и и: каковы бы ни были две односвязные области G1 и G2 расширенной комплексной плоскости , отличные от , а также от с какой-либо исключенной из нее точкой, найдется бесконечное число аналитических и однолистных в области G1 функций, каждая из к-рых осуществляет взаимно однозначное и конформное отображение G1. на G2. При этом для любой пары точек , и и любого действительного числа , найдется, и притом единственная, функция fэтого класса, для к-рой

Условие arg f'(a) = a геометрически означает, что каждый бесконечно малый вектор, выходящий из точки a, при отображении переходит в бесконечно малый вектор, направление к-рого образует с направлением исходного вектора угол a.

Р. т. является основной в теории конформных отображений и вообще в геометрич. теории функций комплексного переменного. Вместе со своими обобщениями на многосвязные области она имеет обширные применения в теории функций комплексного переменного, математич. физике, теории упругости, аэрои гидромеханике, электрои магнитостатике и т. д. Эта теорема для более общего случая односвяз-ных и, вообще говоря, неоднолистных областей над комплексной плоскостью была сформулирована Б. Риманом (В. Biemann, 1851). При этом вместо условий нормировки конформного отображения , обеспечивающих его единственность, в формулировке Б. Римана для той же цели использовались условия , где , а и w наперед заданные точки границ областей G1 и G2 соответственно. Последние условия при современном определении понятия односвязной области не всегда корректны. Б. Риман доказывал свою теорему в значительной степени исходя из физич. представлений, к-рые его также убедили в важности этой теоремы для приложений. В современном понимании математич. строгость доказательству Б. Римана придал Д. Гильберт (D. Hilbert), обосновавший использованный Б. Риманом в его доказательстве т. н. Дирихле принцип.

См. также Конформное отображение.

Лит.:[1] Р и м а н Б., Соч., пер. с нем., М.-Л., 1948, с. 49-87; [2] П р и в а л о в И. И., Введение и теорию функций комплексного переменного, 12 изд., М., 1977; [3] Г о л у з и н Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966. Е. П. Долженко.

2) Р. т. о п е р е с т а н о в к е ч л е н о в р я д а: если ряд, члены к-рого являются действительными числами, сходится, но не абсолютно, то каково бы ни было число A, можно так переставить члены этого ряда, что сумма получившегося ряда будет равна А . Кроме того, члены ряда можно так переставить, что его сумма будет равна одной из наперед заданных бесконечностей со знаком или , а также так, что его сумма не будет равна ни , ни , но последовательность его частичных сумм будет бесконечно большой, и, наконец, так, что последовательность его частичных сумм не будет иметь ни конечного, ни бесконечного предела

(см. Ряд). Л. Д. Кудрявцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985