Математическая энциклопедия - риманово пространство однородное

риманово пространство ( М,g) вместе с транзитивной эффективной группой Gего движений. Пусть K - стационарная подгруппа фиксированной точки Тогда многообразие Мотождествляется с факторпространством G/K с помощью биекции , а риманова метрика g рассматривается как G-инвариантная метрика на G/K. Обычно предполагается дополнительно, что группа G замкнута в полной группе движений. В этом случае стационарная подгруппа Kкомпактна .

Пусть K - компактная подгруппа группы Ли G, не содержащая нормальных делителей группы G. Тогда однородное пространство М=G/K допускает инвариантную риманову метрику g, к-рая определяется следующим образом. Пусть редуктивная структура в M, т. е. разложение алгебры Ли группы Ли Gв прямую сумму алгебры Ли группы Kи подпространства , инвариантного относительно присоединенного представления Ad Kгруппы Kв пространстве . Пространство естественным образом отождествляется с касательным пространством точки o= еK, а представление изотропии группы Kв Т 0 М - с представлением . Любая G-инвариантная риманова метрика g на M получается из нек-рого Ad K- инвариантного скалярного произведения g0 в разнесением с помощью преобразований из G:

Существование такого скалярного произведения следует из компактности группы изотропии

Любое Р. п. о., локально изометричное односвязному Р. п. о. М, получается из Мфакторизацией по произвольной дискретной группе изометрий Клиффорда Вольфа (т. е. движений многообразия М, перемещающих все точки на одинаковые расстояния [2]).

Наиболее изученными классами Р. п. о. являются римановы симметрич. пространства, однородные кэлеровы пространства и однородные кватернионные пространства, изотропно неприводимые Р. п. о. (классифицированы в [9], [10]), нормальные Р. п. о., в к-рых скалярное произведение g0 в продолжается до невырожденной симметрической Ad G-инвариантной билинейной формы на , естественно редуктивные Р. п. о., характеризуемые тем, что в них любая геодезическая является траекторией однопараметрич. группы движений.

Изучена структура Р. п. о. с различными условиями на тензор кривизны. Напр., известна классификация Р. п. о. положительной секционной кривизны [5]. Описана структура просто транзитивных групп движений Р. п. о. неположительной кривизны [8], неотрицательной кривизны и неотрицательной кривизны Риччи [4]. Р. п. о. с разрешимой группой движений Gвсегда имеет неположительную скалярную кривизну sk, и случай sk=0 возможен только для локально евклидова пространства. Любая инвариантная риманова метрика на односвязном Р. п. о. G/Kимеет неположительную скалярную кривизну тогда и только тогда, когда Kесть максимальная компактная подгруппа группы G(см. [4]).

Р. п. о. ( М,g) наз. э й н ш т е й н о в ы м, если его тензор Риччи r пропорционален метрике: r=l,g, l=const. Проблема описания эйнштейновых Р. п. о. не решена (1983). Известен ряд частных результатов. Пусть ( М=С/K,g) эйнштейново Р. п. о. со скалярной кривизной sk. 1) Если sk>0, то многообразие Мкомпактно. Описаны все такие пространства: а) если ( М,g) кватернионное пространство, б) если Мдиффеоморфно симметрич. пространству ранга один, в) для нек-рого класса естественно редуктивных Р. п. о. (см. [7]) и для изотропно неприводимых Р. п. о. (см. [10]). 2) Если sk-0, то Месть локально евклидово пространство. 3) Если sk<0 и группа Gунимодулярна (т. е. определитель операторов ее присоединенного представления равен 1), то группа G полупроста.

Лит.:[1] К о б а я с и Ш., Н о м и д з у К., Основы дифференциальной геометрии, пер. с англ., т. 2, М., 1981; [2] В о л ь ф Дж., Пространства постоянной кривизны, пер. с англ., М., 1982; [3] X е л г а с о н С., Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964; [4] В e.r а r d В е g e r у L., "Ann. sci Еc. norm, sup.", 1978, t. 11, № 4, p. 543-76; [5] е г ож е,"J. Math, pures et appl.", 1976, t. 55, p. 47-67; [6] J e n s e n G. R., "J. Dif. Geom.", 1973, v. 8, p. 599-614; [7] D' A t r i J. E., Z i 11 e г W., "Mem. Amer. Math. Soc.", 1979, v. 18, p. 1-72; [8] A z e n c o t t R., W i l s o n E. N., там же, 1976, v. 8, p. 1 102; [9] М а н т у р о в О. В.. "Тр. сем. по вект. и тенз. анализу", 1966, т. 13, 68-145; [10] W о 1 f J., "Acta math.", 1968, v. 120, p. 59-148. Д. В. Алексеевский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985