Математическая энциклопедия - римана тета-функция

суперпозиция тета-функций1-го порядка , с полуцелыми характеристиками H и абелевых интегралов1-го рода, примененная Б. Риманом (В. Riemann, 1857) для решения Якоби проблемы обращения.

Пусть алгебраич. уравнение, определяющее компактную риманову поверхность F рода р;j1, ... , jp базис абелевых дифференциалов1-го рода на Fс матрицей периодов размера :

Пусть

вектор базисных абелевых интегралов 1-го рода, где (с 1,... , с р) - фиксированная система точек на текущая система точек на F. Для любой тета-характеристики

где целые числа hi, h'i принимают только значения 0 или 1, можно построить тета-функцию с матрицей периодов W, причем удовлетворяет основным соотношениям:

(1)

где е m есть m-я вектор-строка единичной матрицы Е,

m =1, ..., p.

Если нек-рыи фиксированный вектор в комплексном пространстве ,то тета-функция Римана представляет из себя суперпозицию

(2)

В области F*, получающейся из Fпосле удаления разрезов вдоль циклов базиса гомологии F, Р. т.-ф. (2) всюду определены и аналитич. При переходе через разрезы Р. т.-ф., вообще говоря, умножаются на мультипликаторы, значения к-рых определяются из основных соотношений (1). Особую роль при этом играет тета-функция 1-го порядка с нулевой характеристикой H= 0. Именно нули соответствующей

Р. т.-ф. определяют решение проблемы обращения Якоби.

Для фактич. построения аналитич. выражений, решающих проблему обращения, используются отношения Р. т.-ф. вида с общим знаменателем . Из (1) видно, что такие отношения могут иметь в качестве нетривиальных мультипликаторов только -1, а квадраты этих отношений являются однозначными мероморфными на Fфункциями, т. е. рациональными функциями точки поверхности F. Используемые при этом квадраты и другие рациональные функции от отношений тета-функций представляют собой специальные абелевы функции с 2рпериодами. Специализация выражается в том, что р( р+1)/2различных элементов симметрич. матрицы Апри р>3 связаны определенными соотношениями, налагаемыми конформной структурой поверхности F, так что независимых среди них остается 3(р-1).

Р. т.-ф., построенные для случая гиперэллиптич. поверхности F, когда , где Р(и) - многочлен степени без кратных корней, иногда выделяются под названием г и п е р э л л и п т и ч ес к и х т е т а ф у н к ц и й.

Лит.:[1] Ч е б о т а р е в Н. Г., Теория алгебраических функций, М.-Л., 1948, гл. 9; [2] М а р к у ш е в и ч А. И., Введение в классическую теорию абелевых функций, М., 1979; [3] K r a z e r A., Lehrbuch der Thetafunktionen, Lpz., 1903; [4] C o n f o r t o F., Abelsche Funktionen und algebraische Geometrie, В., 1956. Е. Д. Соломенцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985