Математическая энциклопедия - симметрии принцип

принцип симметрии Шварца, принцип симметрии Римана-Шварца для аналитических функций: пусть область Gрасширенной комплексной плоскости ограничена замкнутой жордановой кривой Г, в состав к-рой входит дуга lокружности Lрасширенной комплексной плоскости . Пусть, далее, функция f(z) определена и непрерывна на , аналитична в G,а на l принимает значения, принадлежащие нек-рой окружности Срасширенной комплексной плоскости Тогда f(z) продолжается через дугу lв область G*,. симметричную с Gотносительно L, до функции, аналитической в области .

Такое продолжение (через l)единственно и определяется следующим свойством продолженной функции f(z): если точки и симметричны (инверсны) относительно L, то точки w=f(z) и w*=f(z* )симметричны относительно С. В частности, если Lи Ссовпадают с действительной осью плоскости , то при . Под окружностями расширенной комплексной плоскости понимаются как собственно окружности, так и прямые.

Непрерывность также может пониматься как в обычном, так и в обобщенном смысле, т. е. когда f(z) наз. непрерывной в точке z0, если при , независимо от конечности или бесконечности величины f(z0). Кривая Г, равно как и l, может проходить через точку . По условию, , но не обязательно f(l)=C. Кроме того, если Gи G* имеют общие внутренние точки, то продолженная функция в этих точках .может быть неоднозначной.

С. .