Математическая энциклопедия - симметрика

на множестве X - неотрицательная действительная функция d, определенная на множестве пар всех элементов множества Xи удовлетворяющая следующим аксиомам:

1) d(x, y)=0 в том и только в том случае, если х=у;

2) d(x, y) = d(y, x )при любых

В отличие от метрики и псевдометрики С. может не удовлетворять аксиоме треугольника. По симметрике dна множестве Xопределяется топология на X:множество замкнуто (относительно симметрики d)в том и только в том случае, если d(x, А)>0 для каждого . При этом

Замыкание множества Ав так определенном топологич. пространстве содержит множество всех тех точек , для к-рых d(x, А)=0,но может этим множеством не исчерпываться. Соответственно, e-шары вокруг точек множества Xмогут иметь пустую внутренность. Топологич. пространство наз. с и м м е т р и з у е м ы м, если топология его порождается по указанному правилу нек-рой С. Класс симметризуемых пространств гораздо шире класса метризуемых пространств:симметризуемое пространство может не быть ни паракомпакткым, ни нормальным, ни хаусдорфовым. Кроме того, симметризуемое пространство может не удовлетворять первой аксиоме счетности.

Но каждое симметризуемое пространство Xсеквенциально, т. е. его топология определяется сходящимися последовательностями по правилу: множество Азамкнуто в том и только в том случае, если предел каждой сходящейся в Xпоследовательности точек множества Апринадлежит А . Для бикомпактных хаусдорфовых пространств симметризуемость равносильна метризуемости.

Лит.:[1] А р х а н г е л ь с к и й А. В., П о н о м ар е в В. И., Основы общей топологии в задачах и упражнениях, М., 1974; [2] Н е д е в С. И., "Тр. Моск. матем. об-ва", 1971, т. 24, с. 201 36. А. В. Архангельский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985