Математическая энциклопедия - устойчивость по пуассону

свойство точки ж (траектории f ^tx )динамич. системы f ^t (или см. [2]). заданной на топологич. пространстве S. состоящее в следующем: найдутся последовательности такие, что

Иными словами, хявляется и -предельной точкой траектории f ^tx. Понятие У. по П. введено А. Пуанкаре (Н. Poincare. [1]) на основе анализа результатов С. Пуассона (S. Poisson) но устойчивости планетных орбит.

Всякая точка, устойчивая по Пуассону,неблуждающая; обратное неверно (см. Блуждающая точка). Всякая неподвижная и всякая периодич. точка, вообще всякая рекуррентная точка, устойчивы по Пуассону. Если и динамич. система гладкая (т. е. задана векторным полем класса С ¹),то всякая точка, устойчивая по Пуассону, является либо неподвижной, либо периодической.

Теорема Пуанкаре о возвращении: если динамич. система задана на ограниченной области пространства и лебегова мера является инвариантной мерой системы, то устойчивы по Пуассону все точки, кроме точек нек-рого множества первой категории меры нуль (см. [1], [3]). Обобщением этой теоремы на динамич. системы, заданные на пространстве бесконечной меры, является теорема Хопфа о возвращении (см. [2]): если динамич. система задана на произвольной области пространства (напр., на всем и лебегова мора является инвариантной мерой системы, то каждая точка х, кроме точек нек-рого множества меры нуль, или устойчива по Пуассону или является уходящей, т. е.

Имеются и более общие формулировки теорем Пуанкаре и Хопфа (см. [2]).

Лит.:[1] Пуанкаре А., Избранные труды, т. 2, М., 1972, гл. 26, с. 130-58; [2] Немыцкий В. В., Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М.Л., 1949; [3] Окстоби Дж.. Мера и категория, пер. с англ., М., 1974.

В. М. Миллионщиков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985