Математическая энциклопедия - устойчивость разностных схем

одно из важных понятий теории разностных (сеточных) методов, характеризующее непрерывную зависимость решений разностных схем но отношению к входной информации. Точнее, пусть разностная схема (разностный или сеточный аналог исходной задачи) использует множество сеток с в пространстве независимых переменных для исходной задачи, где параметр hявляется элементом нек-рого линейного нормированного пространства и характеризует конкретную используемую сетку. Пусть каждой такой сетке соответствует Nh -мерное линейное пространство Uh и операторное уравнение в Uh, (система разностных уравнений)

в к-р. 0, не зависящая от hи такая, что

Это определение равносильно корректности (1): решение (1) существует ц единственно при любой правой части fh н равномерно (по h) непрерывно зависит от fh в смысле пространств Hh и Fh. Оно же на языке априорных оценок означает наличие константы К. не зависящей от hи такой, что для любого решения (1) имеет место априорная оценка

Таким образом, если для устойчивой разностной схемы по той или иной причине (напр., в силу приближенного решения (1)) реально отыскивалась не функция и h, из (1), а функция из возмущенного уравнения то погрешноеть легко оценивается сверху:

Кроме того, если разностная схема устойчива и аппроксимирует исходную задачу в смысле пространства Fh, то она является и сходящейся с оценкой погрешности

где zh погрешность схемы, а -погрешность аппроксимации (см. [1], [3], [7]). Приведенная теорема объясняет и причину того, что fh рассматривается как элемент нормированного пространства Fh:от выбора пространства Fh существенно зависит и погрешность аппроксимации. Поэтому при фиксированном пространстве Hh целесообразны теоремы устойчивости типа (3) с использованием наиболее слабых норм в к-рых порядок аппроксимации возрастает. При фиксированном же Fh целесообразно изучать устойчивость (1) с использованием наиболее сильных норм В этом отношении имеет место полная аналогия с задачей изучения корректности исходной краевой задачи. Поэтому и сами пространства Н h и Fh обычно строятся как сеточные аналоги известных функциональных пространств (напр., и т. п., см. [3] [5]) и допускают соответствующие предельные переходы при Примеры выбора таких сеточных пространств, различные приемы изучения У. р. с. в этих пространствах, а также обзор результатов см. [1] [15]. В проекционно-сеточных методах (методах конечных элементов, проекционно-разностных, вариационно-разностных) для стационарных задач наиболее распространен прием изучения сходимости на основе оценок погрешности через расстояние до аппроксимирующих подпространств (см. [3] [5], [7], [10], [12], [13]). Тогда теоремы устойчивости типа (3) нужны лишь для получения оценок (4) и изучение последних при Н h и Fh, совпадающих с евклидовым пространством сеточных функций, часто заменяется традиционным алгебраич. подходом, связанным с изучением чисел обусловленности матриц Lh (см. [10] [12]).

В нестационарных задачах роль независимой переменной tсущественно отлична от роли пространственных переменных, и это обстоятельство приводит к отдельному рассмотрению сетки по времени и сетки по пространственным переменным x1, x2, ..., х d. Оно же определяет и специфику разностных схем для нестационарных задач, связанную с их расслоением (см. [1] [6]). Для простоты описания будем считать, что определяется шагом т. е.

а сетка определяется вектором (h1,h2, ..., hd )шагов по пространственным переменным, hr >0, r'=1,2,... ,.d. Тогда сетка из (1) определяется как где а пространство Uh состоит из векторов где каждое принадлежит линейному пространству сеточных функций заданных на сетке Поэтому нормы в пространствах Hh и Fh, встречающиеся в (2)-(5), обычно определяются через различные нормы || u ||H и || f||F для линейного пространства Uсеточных функций, заданных на сетке Напр., в роли || и h ||Hn часто берутся выражения типа и т. п. (см. [1]-[6]). Наиболее детально изучен при этом случай, когда Ни F являются евклидовыми или унитарными пространствами и получение оценок типа (3) возможно на основе относительно простых средств. Напр., пусть рассматривается линейная двухслойная разностная схема вида

где векторы и fⁿ⁺1 определяются начальным условием и правой частью уравнения, а операторы At и А 0 в евклидовом пространстве Нтаковы, что где неотрицательные константы С 0 и С 1 не зависят от сетки. Тогда для решения (6) справедлива априорная оценка

Весьма часто анализ таких схем проводится после записи их в канонич. виде

на основе изучения свойств оператора перехода ( Е - тождественный оператор) в предположения, что имеется нек-рая относительно простая информация типа операторных неравенств об операторах Ви Ав евклидовом пространстве Н. Напр., если В=В*>0, А=А* и то (см. [3], [6]) существует константа такая, что

где Подобные результаты получены для достаточно широкого круга разностных схем, включая трехслойные и нек-рые многослойные схемы (см. [6]). При этом изучены и нек-рые частные случаи устойчивости (устойчивость по начальным данным, устойчивость по правой части) и их взаимоотношения. Имеются нек-рые результаты, связанные с изучением необходимых условий подобной устойчивости или близких к ним (см. [3], [6]). Использование энергетич. неравенств (см. [4], [5]) вместо (8) позволяет при родственных условиях получить оценку типа

приводящую к устойчивости в несколько более сильной норме для и h и переходящей в пределе в оценку, часто встречающуюся в теории эволюционных уравнений, Подобные оценки также получены для весьма широкого круга схем (см. [4], [5]. [13]).

При изучении У. р. с. выделяют условно устойчивые разностные схемы типа явных схем для уравнения теплопроводности, в к-рых устойчивость имеется лишь при ограничениях типа и схемы абсолютно устойчивые, в к-рых шаги по времени и по пространственным переменным могут меняться независимо друг от друга, не нарушая устойчивости. Схемы последнего типа часто являются предпочтительными, если они не требуют решения сложных систем на каждом шаге. К таким экономичным разностным схемам для многомерных задач относятся неявные схемы переменных направлений, схемы расщепления, схемы с расщепляющимся оператором и аддитивные схемы (см. [3] [6]).

Теоремы устойчивости и оценки типа (3), (9) находят применение и а случае, когда погрешность аппроксимации и оценка (5) не рассматриваются, а строятся соответствующие восполнения решений сеточных задач и устанавливается на основе теорем компактности сходимость к решению исходной задачи (см. [4], [5]). Использование различных априорных оценок и упомянутого принципа компактности особенно характерно для сложных нелинейных задач, в к-рых решение может быть и неединственно, а сходимость устанавливается лишь к нек-рому решению исходной задачи. Иногда изучение нелинейных задач математич. физики по причине их сложности вообще заменяется изучением их линеаризацией, а для разностных схем обращается особое внимание на справедливость сеточных аналогов важнейших физич. законов сохранения (см. [8]). Для слабо же нелинейных задач изучение корректности разностных схем часто проводится с достаточной полнотой, характерной для линейного случая (см. [5] [7] и Нелинейная краевая задача;численные методы решения).

В случае задач Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений изучение устойчивости разностных схем часто сводится в модельных ситуациях к изучению корней характеристич. уравнения (см. [2], [14], [15]).

Лит.:[1] Рябенький В. С., Филиппов А. Ф., Об устойчивости разностных уравнений, М., 1956; [2] Берзин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, т. 2, 2 изд., М., 1962; [3] Годунов С. К., Рябенький В. С., Разностные схемы, 2 изд., М., 1977; [4] Ладыжеская О. А., Краевые задачи математической физики; М., 1973; [5] Дьяконов Е. Г., Разностные методы решения краевых задач, в. 1-2, М., 1971-72; [6] Самарский А. А., Гулин А. В., Устойчивость разностных схем, М., 1973; [7] Самарский А. А., Андреев В. Б., Разностные методы для эллиптических уравнений, М., 1976; [8] Самарский А. А., Попов Ю. П., Разностные методы решения задач газовой динамики, 2 изд., М., 1980; [9] Ладыженская О. А., Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости, 2 изд., М., 1970; [10] Оганесян Л. А., Руховец Л. А., Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений, Ер., 1979; [11] Михлин С. Г., Численная реализация вариационных методов, М., 1966; [12] Стренг Г., Фикс Дж., Теория метода конечных элементов, пер. с англ., М., 1977; [13] 3лотни к А. А., лВестн. Моск. ун-та

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985