Математическая энциклопедия - устойчивое распределение

распределение вероятностей, обладающих свойством, что для любых a1>0, b1, a2>0, b2 имеет место соотношение

где a>0 и b нек-рые постоянные, F - функция распределения У. р., * символ операции свертки двух функций распределения. Характеристическая функция У. р.

где d - любое действительное число, и

Число наз. показателем устойчивого распределения. У. р. с показателем является нормальное распределение, примером У. р. с показателем служит Коши распределение, У. р. является вырожденное распределение на прямой, У. р.безгранично делимое распределение, и У. р. с показателем имеет Леви каноническое представление схарактеристиками

любое действительное число.

Для У. р., за исключением вырожденного распределения, существуют плотности. Эти плотности бесконечно дифференцируемы, одновершинны и отличны от нуля или на всей прямой, или на полупрямой. Для У. р. с показателем при выполняются соотношения

р(х) - плотность У. р. Явный вид плотностей У. р. известен лишь в немногих случаях. Одной из основных задач теории У. р. является описание их притяжения областей.

В совокупности У. р. выделяется класс строго устойчивых распределений, для к-рых имеет место равенство (1) при b1=b2=b=0. Характеристич. функции строго У. р: с показателем даются формулой (2) при d=0. При строго У. р. является лишь распределение Копти. Спектрально положительные (отрицательные) У. р. характеризуются тем, что в канонич. представлении Леви Для спектрально положительных У. р. существует преобразование Лапласа при

где р(х)-плотность спектрально положительного У. р. с показателем -действительное число, у многозначных функции выбираются те ветви, для к-рых In s действительный, а при s > 0.

У. р., как безгранично делимому распределению, соответствует однородный случайный процесс с независимыми приращениями. Стохастически непрерывный однородный случайный процесс с независимыми приращениями наз. устоичивым, если приращение x(1)-х(0)имеет У. р.

Лит.:[1] Гнеденко Б, В., Колмогоров А. Н., Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, М.-Л., 1949; [2] Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей, 2 изд., М., 1973; [3] Ибрaгимов И. А., Линник Ю. В., Независимые и стационарно связанные величины, М., 1965; [4] Скороход А. В., Случайные процессы с независимыми приращениями, М., 1964: [5] Золотарёв В. М., Одномерные устойчивые распределения, М., 1983.

В. А. Рогозин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985