Математическая энциклопедия - устойчивость по части переменных

устойчивость в смысле Ляпунова решения х=0по отношению не ко всем, а лишь к нек-рым переменным x1, . . .. xk, k< п, системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Здесь Xs(t, x)данные действительные непрерывные функции, удовлетворяющие в области

условиям существования и единственности решения x(t; t0, х 0), причем Xs(t, 0)=0, s = l, ..., n, и любое решение определено для всех при к-рых

Пусть xi = yi при i =1, . . ., k; xk+j = zj при j =1, ... ..., т, n = k+m и

Решение х=0системы (1) наз.:

а) устойчивым по отношению к x1,..., х k, или y-устойчивым, если

т. e. при всяких произвольно задаваемых числах и найдется число такое, что при всяких возмущениях x0, удовлетворяющих условию и при всяком t>t0 для решении x(t; t0, х 0) выполняется условие

б) y-нeустоичивым в противном случаи, т. е. если

в) у- устойчивым равномерно по t0, если в определении а) для каждого число можно выбрать не зависящим от t0;

г) асимптотически у- устойчивым, если оно y-устойчиво и для каждого существует число такое, что

Здесь J⁺ -максимальный правый интервал, где х(t; t0, x0) определено, в случае г), кроме указанных выше условий, предполагается, что все решения системы (1) существуют на

Постановка задачи об У. по ч. н. дана Л. М. Ляпуновым [1] как обобщение задачи устойчивости по всем переменным (k=n). При решении этой задачи особенно эффективным оказался метод Ляпунова функции, модифицированный (см. [2]) применительно к задачам y-устойчивости. В основе метода лежит ряд теорем, обобщающих классич. теоремы Ляпунова.

Пусть рассматриваются действительные однозначные функции а также их полные производные по времени в силу (1):

Знакопостоянная функция V(t, х )наз. у-знакоопределенной, если существует положительно-определенная функция W(y)такая, что в области (2)

Ограниченная функция V(t, х )допускает бесконечно малый высший предел по х 1, . .., x р, если для всякого числа l>0 найдется такое, что |V(t,x)|<l при

Теорема 1. Если система (1) такова, что существует y-положительно-определенная функция V(t, х), производная к-рой то решение х=0является y-устойчивым.

Теорема 2. Если выполнены условия теоремы 1 и, кроме того, V допускает бесконечно малый высший предел но х, то решение х=0 системы (1) y-устойчиво равномерно по t0.

Теорема 3. Если выполнены условия теоремы 1 и, кроме того, Vдопускает бесконечно малый высший предел по у, то для любого найдется такое, что из следует справедливость неравенства для всех

Теорема 4. Если система (1) такова, что существует y-положительно-определенная функция V, допускающая бесконечно малый высший предел по х 1, . . .., x р производная к-рой V отрицательно-определенная но х 1, . . ., x р, то решение х=0системы (1) асимптотически y-устойчиво.

Для исследования y-неустойчивости успешно применяются теорема о неустойчивости Четаева (см. Четчева функция). а также нек-рые другие теоремы. Установлены условия обратимости ряда теорем об y-устойчивости, напр. обратимость теорем 1, 2, а также теоремы 4 при p=k. Применяются методы дифференциальных неравенств и вектор-функций Ляпунова; установлены теоремы об асимптотической y-устойчивости в целом, но 1-му приближению и т. п. (см. [3]).

Лит.:[1] Ляпунов А. М., лМатем. сб.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985