Математическая энциклопедия - устойчивости критерии

необходимые и достаточные условия отрицательности действительных частей всех корней уравнения

У. к. используются, когда применяется теорема Ляпунова об устойчивости но первому приближению неподвижной точки автономной системы дифференциальных уравнений (см. Устойчивость по Ляпунову). Наиболее употребителен следующий У. к., наз. критерием Рауса Гурвица или критерием Гурница: для отрицательности действительных частей . всех корней уравнения (*) необходимо и достаточно, чтобы выполнялась совокупность неравенств где

главные диагональные миноры матрицы

(на главной диагонали этой матрицы стоят a1, ..., а n;при i >n полагают ai=0).

При п=2У. к. РаусаГурвица выглядит особенно просто: для отрицательности действительных частей корней уравнения необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты уравнения были положительны: a1> 0, а 2>0.

При всяком для отрицательности действительных частей всех корней уравнения (*) необходимо (но при п>2недостаточно), чтобы все коэффициенты уравнения были положительны: Если хоть одни из определителей отрицателен, то. у уравнения (*) найдется корень, действительная часть к-рого положительна (это утверждение используется при применении теоремы Ляпунова о неустойчивости но первому приближению неподвижной точки автономной системы дифференциальных уравнений, см. Устойчивость по Ляпунову). Если для любого но для некоторого то расположение корней уравнения (*) относительно мнимой оси тоже можно выяснить, не находя самих корней (см. [5], [8] гл. XVI, з 8).

Более простым для применения является критерий Льонара Шипара: для отрицательности действительных частей всех корней уравнения (*) необходимо и достаточно, чтобы выполнялась совокупность неравенств (определители Di те же, что н критерии Рауса -Гурвица).

Критерий Эрмита (исторически первый, см. [11, |10] 3.1) позволяет с помощью конечного числа арифметич. действии над коэффициентами уравнения (*) определить, все ли корни этого уравнения имеют отрицательную действительную часть. Сформулированный выше критерий Рауса Гурвица это модификация критерия Эрмита, найденная А. Гурвицем. Известен также У. к. Ляпунова (см. [3], [8] гл. XVI, 5, [10] 3.5). При исследовании устойчивости неподвижной точки дифференцируемого отображения (автономной системы с дискретным временем), а также при исследовании орбитальной устойчивости замкнутой траектории автономном системы дифференциальных уравнений применяются условия, необходимые и достаточные для того, чтобы модули всех корней уравнения (*) были меньше единицы. Эти критерии получаются из У. к., указанных выше, отображением открытого единичного круга на открытую левую полуплоскость (см. [10] 3.2).

Лит.:[1]НеrmаileСh., лJ. reirve und angew. Math.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985