Математическая энциклопедия - устойчивость по ляпунову

точки относительно семейства отображений нек-рого пространства Е

-равностепенная непрерывность этого семейства отображений в этой точке (здесь G⁺- множество неотрицательных чисел: действительных или целых У. по Л. точки относительно семейства отображений (1) эквивалентна непрерывности н этой точке отображения ее окрестности во множество функций определенных формулой х(t)=f ^t (х), наделенное топологией равномерной сходимости на G⁺. У. по Л. точки относительно отображения определяется как ее У. по Л. относительно семейства неотрицательных степеней этого отображения. У. по Л. точки относительно дпнамич. системы f ^t есть У. по Л. этой точки относительно семейства отображений У. по Л. за данного на решения уравнения х(t+1) = gtx(t)есть У. по Л. точки x0 (t0) относительно семейства отображений

У. по Л. заданного на решения дифференциального уравнения x=f(x, t )есть У. по Л. точки х 0(t0) относительно семейства отображений Коши оператор этого уравнения. У. по Л. заданного нa решения дифференциального уравнения

порядка тесть У. по Л. заданного на решения соответствующего дифференциального уравнения 1-го порядка где

х = (х 1, ..., х т),

f(x, t)==(x2, ..., х т, g(x1, ..., х т, t)).

Приводимые ниже определения 1 7 являются нек-рыми конкретизациями этих и родственных им определений.

1. Пусть дано дифференциальное уравнение где хпринадлежит n-мерному нормированному пространству Е. Решение, этого уравнения наз. устойчивым по Ляпунову, если для всякого найдется такое, что для всякого удовлетворяющего неравенству решение задачи Коши

единственно, определено на и при всяком удовлетворяет неравенству Если, сверх того, найдется такое, что для всякого решения уравнения x=f(x,t), начальное значение к-poгo удовлетворяет неравенству

имеет место равенство

(соответственно неравенство

здесь и далее полагают то решение наз. асимптотически (соответственно экспоненциально) устойчивым.

Решение уравнения

где x или наз. устойчивым по Ляпунову (асимптотически, экспоненциально устойчивым), если оно становится таковым в результате наделения пространства (или нек-рой нормой. От выбора нормы это свойство решения не зависит.

2. Пусть дано отображение где (S, d)метрич. пространство. Точка наз. устойчивой по Ляпунову относительно отображения f, если для всякого найдется такое, что для всякого удовлетворяющего неравенству выполнено неравенство

для всякого Если, сверх того, найдется такое, что для всякого удовлетворяющего неравенству имеет место равенство

(неравенство

то точка х 0 наз. асимптотически (соответственно экспоненциально) устойчивой относительно отображения f.

Пусть дано отображение f компактного топологич. пространства Sв себя. Точка наз. устойчивой по Ляпунову (асимптотически устойчивой) относительно отображения f, если она становится таковой в результате наделения пространства S нек-рой метрикой. От выбора метрики это свойство точки не зависит.

Если S - компактное дифференцируемое многообразие, то точка наз. экспоненциально устойчивой относительно отображения если она становится таковой в результате наделения Sнек-рой римановой метрикой. От выбора римановой метрики на S это свойство точки не зависит.

3. Пусть дано дифференциальное уравнение (2), где хпринадлежит векторному топология, пространству Е. Решение этого уравнения наз. устойчивым по Ляпунову, если для всякой окрестности нуля множество тех для к-рых решение задачи Коши (2). x(t0)=x единственно, определено на и при всяком удовлетворяет соотношению есть окрестность точки x0(t0) в пространстве Е. Если, сверх того, найдется окрестность точки x0(t0) такая, что для всякого решения уравнения (2), удовлетворяющего условию имеет место равенство

(равенство

для нек-рого то решение наз. асимптотически (соответственно экспоненциально) устойчивым. Если пространство . нормируемо, то это определение формулируется так же, как в п. 1, если в качестве нормы взять любую норму, согласующуюся с топологией пространства Е.

4. Пусть дано дифференциальное уравнение (2) на римановом многообразии U(моделью к-рого служит евклидово или гильбертово пространство) или (более общая ситуация) на финслеровом многообразии U(моделью к-рого служит нормированное пространство); расстояние в Uобозначается через Решение этого уравнения наз. устойчивым по Ляпунову, если для всякого найдется такое, что для всякого удовлетворяющего неравенству решение задачи Коши (2), x(t0)=х единственно, определено на и при всяком удовлетворяет неравенству Если, сверх того, найдется такое, что для всякого решения уравнения (2), начальное значение к-рого удовлетворяет неравенству имеет место равенство

(неравенство

то решение наз. асимптотически (соответственно экспоненциально) устойчивым.

Пусть дано дифференциальное уравнение (2) на компактном дифференцируемом многообразии V ^п. Решение этого уравнения наз. устойчивым по Ляпунову (асимптотически, экспоненциально устойчивым), если оно становится таковым в результате наделения многообразия . нек-рой римановой метрикой. От выбора римановой метрики это свойство решения не зависит.

5. Пусть Е - равномерное пространство. Пусть

отображения, определенные на открытом множестве Точка наз. устойчивой по Ляпунову относительно семейства отображений если для всякого окружения Wнайдется окрестность Vточки х 0 такая, что множество тех для к-рых при всяком есть окрестность точки х 0. Если, сверх того, найдется окрестность V0 точки х 0 такая, что для всякого для всякого окружения Wнайдется такое, что при всяком то точка x0 наз. асимптотически устойчивой.

Если Е - компактное топологич. пространство, а -отображения, заданные на нек-ром открытом множестве то точка наз. устойчивой по Ляпунову (асимптотически устойчивой) относительно семейства отображений если она становится таковой в результате наделения пространства Етой единственной равномерной структурой, к-рая согласуется с топологией пространства Е.

6. Пусть Е- топологич. пространство. U - открытое множество в нем. Пусть где Gесть или -отображения, имеющие неподвижную точку x0. Неподвижная точка х 0 наз. устойчивой по Ляпунову относительно семейства отображений если для всякой окрестности Vточки х 0 найдется окрестность Wтой же точки такая, что при всяком Если, сверх того, найдется окрестность V0 точки х 0 такая, что для всякого то неподвижная точка х 0 наз. асимптотически устойчивой относительно семейства отображений

7. У. по Л. (асимптотическая, экспоненциальная устойчивость) решения уравнения произвольного порядка определяется как У. по Л. (соответственно асимптотическая, экспоненциальная устойчивость) решения

соответствующего уравнения 1-го порядка (2), где х= (х 1, ..., х т),

f(x, t) = (x2, ... т, g( х 1, ..., х т, t)).

Определения 1, 2, 4, 6, 7охватывают устойчивые движения систем с конечным числом степенен свободы (причем уравнения на многообразиях естественно возникают при рассмотрении механич. систем со связями). Определения 2-7 охватывают устойчивые движения в механике сплошной среды и в других разделах физики, устойчивые решения операторных, функционально-дифференциальных (в частности, уравнений с запаздыванием) и др. уравнений.

Исследование на устойчивость равновесия положения автономной системы. Пусть в окрестности точки задано автономное дифференциальное уравнение причем функция непрерывно дифференцируема и обращается в этой точке в нуль. Если действительные части всех собственных значений производной dfxo отрицательны, то неподвижная точка х 0 дифференциального уравнения экспоненциально устойчива (теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению); для облегчения проверки условия этой теоремы применяются критерии устойчивости. Если при тех же условиях хоть одно из собственных значений производной имеет положительную действительную часть (это условие можно проверить, не находя самих собственных значений, см. Устойчивости критерии), то неподвижная точка х 0 дифференциального уравнения неустойчива.

Пример. Уравнение колебаний маятника с трением

Нижнее положение равновесия экспоненциально устойчиво, т. к. корни характеристич. уравнения уравнения в вариациях имеют отрицательные действительные части. Верхнее положение равновесия неустойчиво, т. к. характеристич. уравнение уравнения в вариациях имеет положительный корень. Эта неустойчивость имеет место и в отсутствии трения (а = 0). Нижнее положение равновесия маятника без трения один из т. н. критических случаев, когда все собственные значения производной dfxo лежат в левой комплексной полуплоскости, причем хоть один из них лежит на мнимой оси.

Для исследования устойчивости в критич. случаях А. М. Ляпунов предложил т. н. второй метод исследования устойчивости (см. Ляпунова функция). Для маятника без трения

нижнее положение равновесия устойчиво по Ляпунову, т. к. существует функция Ляпунова

полная энергия маятника; условие неположительности производной этой функции следствие закона сохранения энергии.

Неподвижная точка х 0 дифференцируемого отображения экспоненциально устойчива относительно f, если все собственные значения производной dfxo по модулю меньше 1, н неустойчива, если хоть одно из них имеет модуль > 1.

Исследование устойчивости периодич. точки дифференцируемого отображения сводится к исследованию устойчивости неподвижной точки относительно степени этого отображения. Периодич. решение автономного дифференциального уравнения не бывает асимптотически устойчивым (см. Орбитальная устойчивость, Андронова Витта теорема).

Не следует думать, что из экспоненциальной устойчивости нулевого решения уравнения в вариациях автономного дифференциального уравнения вдоль решения вытекает устойчивость решения. Это показывает пример Перрона (см.[2], [3])^:

При а>1/2 нулевое решение системы уравнений в вариациях

системы (3) (вдоль нулевого решения) экспоненциально устойчиво ( Ляпунова характеристические показатели системы (4) равны а, 1-2а), но при нулевое решение системы (3) неустойчиво. Однако устойчивость по первому приближению типична в смысле, разъясняемом ниже.

Пусть S- множество диффеоморфизмов f евклидова пространства Е ^п на себя, имеющих равномерно непрерывную производную, удовлетворяющую неравенству

Для всякого диффеоморфизма через Sj обозначается множество диффеоморфизмов удовлетворяющих неравенству

в множестве Sj задается расстояние

При всяком в пространстве имеется всюду плотное множество Dj типа обладающее свойством: если для нек-рого для всякого имеет место неравенство

то найдется окрестность Uточки (f, х)в пространстве такая, что для всякого точка уэкспоненциально устойчива относительно диффеоморфизма g.

Для динамич. систем, заданных на компактном дифференцируемом многообразии, аналогичная теорема формулируется проще и является дифференциально-топологически инвариантной. Пусть Vⁿ - замкнутое дифференцируемое многообразие. Множество Sвсех диффеоморфизмов f класса С ¹,отображающих Vⁿ на Vⁿ, наделяется С ¹ -топологией. В пространстве имеется всюду плотное множество Dтипа обладающее свойством: если для нек-рого для всякого выполнено неравенство

то найдется окрестность Uточки (f, х)в пространстве такая, что для всякого точка уэкспоненциально устойчива относительно диффеоморфизма g.

Понятия У. по Л., асимптотической устойчивости и экспоненциальной устойчивости были введены А. М. Ляпуновым [1], разработавшим методы исследования устойчивости, понимаемой в смысле этих определений (см. также Ляпунова теория устойчивости).

Лит.:[1] Ляпунов A.M., Собр. соч., т. 2, М.Л., 19.5В; [2] Perron 6., лMath, Z.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985