Математическая энциклопедия - устойчивость характеристических показателей

свойство Ляпунова характеристических показателей линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений

где непрерывное отображение (или удовлетворяющее условию

Говорят, что характеристич. показатели Ляпунова системы (1) устойчивы, если каждая из функций

непрерывна в точке А. Здесь характеристич. показатели Ляпунова системы (1), a Mn множество систем (1), наделенное структурой метрнч. пространства заданием расстояния

(для удобства система (1) отождествляется с отображением причем вместо пишется А).

Были обнаружены (см. [2], [3]) системы (1) с неустойчивыми характеристич. показателями. Напр., характеристич. показатели системы .

при неустойчивы, т. к. при ее старший характеристич. показатель а при показатель и не зависит от Для устойчивости характеристич. показателей достаточно, чтобы выполнялось интегральной разделенности условие (теорема Перрона). Множество систем (1), удовлетворяющих этому условию, совпадает с внутренностью (в пространстве М п )множества всех систем (1) с устойчивыми характеристич. показателями.

Если при всех или A(t+T)=A(t)при всех (при нек-ром T>0) (т. е. система (1) имеет постоянные или периодич. коэффициенты), то характеристич. показатели системы (1) устойчивы.

Если почтп периодич. отображение (см. Линейная система дифференциальных уравнений с почти периодическими коэффициентами),то для У. х. п. системы (1) необходимо и достаточно, чтобы система (1) была почти приводима.

Для того чтобы характеристич. показатели системы (1) были устойчивы, достаточно, чтобы нашлось Ляпунова преобразование, приводящее систему (1) к клеточно-диагональному виду

такому, что: а) клетки интегрально разделены, т. е. найдутся числа d>0, a>0 такие, что

для всех i=l, . . ., m-1 (здесь Коши оператор системы (2)); б) верхний и нижним центральные показатели, системы (2) равны друг другу:

при всяком i = l, ..., m.

Условия этой теоремы являются и необходимыми условиями У. х. п. системы (1) (см. [6]). Системы с неустойчивыми характеристич. показателями могут обладать свойством стохастической У. х. п.

Характеристич. показатели системы (1) наз. стохастически устойчивыми (или устойчивыми почти наверное), если при характеристич. показатели Ляпунова системы

стремятся с вероятностью 1 к характеристич. показателям Ляпунова системы (1); здесь элементы матрицы, задающей линейные операторы (в нек-ромне зависящем от -базисе пространства суть независимые ненулевые белые шумы.

Если отображение равномерно непрерывно и

то для почти всякого отображения где

характеристич. показатели системы стохастически устойчивы (для сдвигов динамической системы рассматривают нормированную инвариантную меру, сосредоточенную на замыкании траектории точки под почти всяким понимается почти всякое в смысле всякой такой меры). Пусть динамич. система на гладком замкнутом многообразии Vⁿ задана гладким векторным полем. Тогда для почтп всякой (в смысле всякой нормированной инвариантной меры) точки характеристич. показатели системы уравнений в вариациях вдоль траектории точки хстохастически устойчивы.

Лит.:[1] Ляпунов А. М., Собр. соч. т. 2 М.Л. 1956; [2]Perron О., лMath. Z.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985