Математическая энциклопедия - алгебраическая функция

функция переменных x1,...xn удовлетворяющая уравнению

где Fнеприводимый многочлен от с коэффициентами из нек-рого поля K, наз. полем констант. А. ф., заданная над этим полем, наз. А. ф. над полем K. Многочлен часто записывается по степеням переменного у, так что уравнение (1) приобретает вид

где многочлены от причем Число k - степень многочлена Fотносительно у, наз. степенью А. ф. В случае А. ф. может быть представлена в виде отношения

многочленов и наз. рациональной функцией от При А. ф. может быть выражена через квадратные н кубич. радикалы от рациональных функций переменных при это, вообще говоря, невозможно.

Исторически сложилось три подхода к теории А. ф.: теоретико-функциональный, возникновение к-рого связано в первую очередь с работами Н. Абеля (N. Abel), К. Вейерштрасса (К. Weierstrass) и Б. Римана (В. Riemann), арифметико-алгебраический, восходящий к Р. Дедекинду (П. Dedekind), Г. Веберу (Н. Weber) и К. Гензелю (К. Hensel) и алгебро-геометрический, берущий свое начало от работ А. Клебша (A. Clebsh), М. Нетера (М. Noether) п др. (см. Алгебраическая геометрия). Первое направление в теории А. ф. одного переменного связано с изучением А. ф. над полем комплексных чисел и рассмотрением их как мероморфных функций на римановых поверхностях и комплексных многообразиях; важнейшие применяемые здесь методы гео-метрич. и топологич. методы теории аналитич. функций. Арифметико-алгебранч. подход связан с изучением А. ф. над произвольными полями. Применяемые методы чисто алгебраические. Особенно большое значение имеют теории нормировании и расширений полей. При алгебро-геометрич. подходе А. ф. рассматриваются как рациональные функции на алгебраич. многообразии, а их изучение ведется методами алгебраич. геометрии. Первоначально эти подходы различались не только по методам и по способу изложения, но и по терминологии. На современном этапе такое разделение направлений представляется в значительной мере условным, ибо в функциональном направлении широко используются алгебраич. методы, а многие результаты, полученные в первом направлении с помощью теоретико-функциональных и топологич. методов, успешно переносятся на случай более общих полей при помощи алгебраич. аналогов функциональных п топологич. методов.

Алгебраические функции одного переменного. Над полем комплексных чисел А. ф. одного переменного [в упрощенной записи ] является значной аналитич. функцией. Если обозначить через дискриминант многочлена

(т. е. многочлена, для к-рого ), получающийся исключением уиз уравнений

и составить уравнение

то корни этого последнего уравнения наз. критическими значениями А. ф. Дополнительное множество наз. некритическим множеством. Для любой точки уравнение (2) имеет различных корней причем выполняются условия

По теореме о неявных функциях, в окрестности точки существует однозначных аналитич. функций , , удовлетворяющих

условиям и разлагающихся в сходящиеся ряды

Таким образом, для каждой точки строится kэлементов аналитпч. функций, наз. функциональными элементами с центром в т о ч-к е . Для любых двух точек любые элементы с центрами, соответственно, , получаются друг из друга аналитич. родолжением вдоль нек-рой кривой, лежащей в G; в частности, таким способом связаны и любые два элемента с одним центром. Если x0 -критич. точка А. ф., то возможны два случая: 1) х 0 -корень дискриминанта, т. е. , но

Случай 1. Пусть малый круг с центром в х 0 , не содержащий других критич. течек, а система регулярных элементов с центром в . Эти функции остаются ограниченными при . Пусть, далее, D - окружность с центром x0, проходящая черех ; она целиком лежит внутри Аналитич. продолжение нек-рого элемента, напр., , вдоль окружности D(скажем, обходя по часовой стрелке) приводит к элементу , также принадлежащему системе элементов с центром . Эта система состоит из элементов, и нек-рое (минимальное) конечное число таких обходов приводит к исходному элементу . Получается подсистема

элементов с центром ; каждый из этих элементов может быть получен аналитическим продолжением другого путем обходов вокруг точки ; такая подсистема наз. циклом. Вся система разбивается на нек-рое число непересекающихся циклов

Элемент не является (в случае a1>1) однозначной функцией от в круге , но будет однозначной аналитич. функцией от параметра в окрестности точки . В нек-рой окрестности этой точки элементы первого цикла представимы в виде сходящихся рядов

аналогичные разложения имеют место для элементов других циклов. Такие разложения элементов по дробным степеням разности где критич. точка, наз. рядами Пюизё. Преобразованием , , соответствующим однократному обходу вокруг x0, ряды Пюизё элементов одного цикла переводятся друг в друга в циклич. порядке, т. е. происходит циклич. перестановка рядов и соответствующих элементов. Обходам вокруг критич. точки соответствуют перестановки элементов с центром в этой точке; эти перестановки состоят из циклов порядков

Определяемые таким способом подстановки составляют группу монодромий А. ф. Если хотя бы одно из больше 1, критич. точка наз. алгебраической точкой ветвления А. ф.; числа (иногда 1) наз. индексами (или порядками) ветвления А. ф.

Случай 2. Заменой функции уна сводится к 1); получаются разложения, аналогичные разложениям (4), к-рые могут содержать конечное число членов с отрицательными показателями:

При точка является полюсом порядка рА. ф. Обычно А. ф. рассматриваются на сфере Римана S, т. е. на комплексной плоскости, пополненной бесконечно удаленной точкой . Введение переменной сводят этот случай к предыдущему; в окрестности точки имеет место разложение

При точка является полюсом порядка .

Параметр разложения в рядах (3), (4), (5), (6) наз. локальной униформнзующей для А. ф. Если некритич. точка А. ф., таким параметром может быть ; если же критич. точка, за параметр может быть принят корень где натуральное число. Совокупность всех описанных выше элементов А. ф. образует полную А. ф. в смысле Вейерштрасса. А. ф. не имеют других особенностей, кроме, быть может, алгебраич. точек ветвления и полюсов. Верно и обратное: функция аналитическая и не более чем s-значная во всех точках сферы Ри-мана, за исключением конечного числа точек и , а в этих точках имеющая лишь полюсы или алгебраич. точки ветвления, есть А. ф. степени

Римапова поверхность полной А. ф. компактна и является Уг-листным накрытием сферы Римана, точками разветвления к-рого являются, быть может, критич. точки и точка . А. ф. представляют собой единственный класс функций, риманова поверхность к-рых компактна. Род римановой поверхности А. ф. играет важную роль; он наз. родом А. ф. Он вычисляется по Римана Гурвица формуле. Род рациональной функции равен 0; ее риманова поверхность есть сфера Римана. Риманова поверхность эллиптич. функций, удовлетворяющих уравнениям 3-й и 4-й степеней, есть тор; род этих функций равен 1.