Математическая энциклопедия - концентрации функция

случайной величины X - функция Q(l, X), определенная для всех неотрицательных lи случайной величины Xсоотношением

К. ф. Q(l, X )является неотрицательной, полуаддитивной, монотонно неубывающей функцией при l>0, непрерывной справа и такой, что

Обратно, любая функция, обладающая этими свойствами, может рассматриваться, как К. ф. нек-рой случайной величины.

К. ф. является удобной характеристикой разброса значений случайной величины, особенно для количественного выражения факта увеличения разороса при суммировании независимых случайных величин. Первая абсолютная, т. е. содержащая лишь абсолютные константы, оценка для концентрации суммы при заданных концентрациях слагаемых была получена А. Н. Колмогоровым [4] методом, развивающим метод П. Леви [2]. В дальнейшем этот результат был усилен (см. [5]); была получена формулировка, включающая в качестве частных случаев все ранее найденные результаты:

где

Х 1,..., Х n -совокупность независимых случайных величин, , i=l, 2, . . ., п, и Сабсолютная постоянная. Выделены два типа оценок: оценки Q(l, S )локального типа (см. [6]); оценки Q(l, S )интегрального типа (см. [7]).

Двойственной характеристикой разброса, тесно связанной с К. ф., является функция рассеивания случайной величины X:

при Имеет место (см. [8]) следующее неравен-

ство, связывающее К. ф. и характеристич. функцию f(t)случайной величины X:

а также неравенства

где Х 1 и Х 2независимые случайные величины. Имеются попытки перенести нек-рые результаты, касающиеся К. ф. на случай суммирования независимых случайных векторов (см. [9]).

Лит.:[1] Dоеblin W., Levy P., "C. r. Acad. sci.", 1936, t. 202, p. 2027-29; [2] Levy P., Theorie de l'addition des variables alfiatoire, 2 ed., P., 1954; [3] Dоeb1in W., "Bull. sci. math.", 1939, t. 63, p. 23-64; [4] Ко1mоgоrov A., "Ann. de l'lnst. H. Poincare", 1958, t. 16, p. 27-34; [5] Pогозин Б. А., "Теория вероят. и ее примен.", 1961, т. 6, в. 1 с. 103-108; [6] Кеsten H., "Math. Scand.", 1969, v. 25 p. 133 44; [7] Рогозин Б. А., "Докл. АН СССР", 1973, т. 211, с. 1067 70; [8] Петров В. В., Суммы независимых случайных величин, М., 1972; [9] Еssееn С. G., "Z. Wahrscheinlichkeitstheor. und verw. Geb.", 1968, Bd 9, S. 290-308.

Б. А. Рогозин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985