Математическая энциклопедия - конформная структура

1) К. с. на векторном пространстве V - класс Кпопарно гомотетичных евклидовых метрик пространства V. Любая евклидова метрика gпространства Vопределяет К. с.

которая наз. К. с, порожденной евклидовои метрикой g. Автоморфизм Апространства Vназ. автоморфизмом К. с. К, если индуцированное им преобразование пространства билинейных форм сохраняет множество К. Группа автоморфизмов К. с. изоморфна линейной конформной группе

являющейся прямым произведением мультипликативной группы положительных чисел и ортогональной группы.

2) К. с. н а многообразии поле конформных структур касательных пространств, т. е. подрасслоение p: К->М расслоения симметрических билинейных форм на многообразии М, слои К р=p^-1 (р)к-рого суть К. с. соответствующих касательных пространств T р М. Расслоение p является топологически тривиальным, и любое его сечение g(представляющее из себя риманову метрику на М)однозначно определяет К. с. по формуле

Сечение gназ. римановой метрикой, подчиненной К. с. К. Любое другое сечение g1 расслоения имеет вид gi=fg, где f положительная функция на М', т. е. римановы метрики g1 и gкорформно эквивалентны. Поэтому К. с. можно определить также как класс конформно эквивалентных рпмановых метрик. К. с. Кна многообразии Мможно отождествить с СО(n)-структурой Вна М, состоящей из всех реперов на М, ортонормированных относительно хотя бы одной римановой метрики, подчиненной структуре К. Основные свойства К. с. определяются тем, что СO(n)-структура Вявляется G-структурой второго порядка: ее первое продолжение есть Rⁿ -структура B⁽¹⁾->В на В, а второе продолжение е-структура (поле реперов) на B⁽¹⁾. Отсюда в частности следует, что группа автоморфизмов К. с. К(к-рая совпадает с группой конформных преобразований любой подчиненной Кримановой метрики) есть группа Ли размерности а представление изотропии ее стационарной подгруппы в касательном пространстве второго порядка точно.

Как правило, группа автоморфизмов К. с. Ксовпадает с группой движений нек-рой подчиненной ей римановой метрики. Исключениями являются только стандартные конформные структуры К 0 на сфере Sⁿ и евклидовом пространстве Е ⁿ, порожденные стандартными римановыми метриками. К. с. на многообразии Мназ. локально плоской, если она локально эквивалентна стандартной К. с. K0 евклидова пространства Е ⁿ, т. е. если в окрестности любой точки существует подчиненная Кплоская риманова метрика. Для того чтобы К. с. была локально плоской, необходимо и достаточно, чтобы тензор конформной кривизны Вейля нек-рой (а тем самым и любой) подчиненной ей римановой метрики был равен нулю. Примерами локально плоских К. с. являются стандартные К. с. в евклидовом пространстве Е ^п, на сфере Sⁿ, в пространстве Лобачевского а также в пространствах и порожденные стандартными метриками. Ими исчерпываются все локально плоские К. с. на односвязных многообразиях, обладающие транзитивной группой автоморфизмов. Стандартная К. с. К 0 на сфере Sⁿ выделяется среди всех К. с. как единственная К. с, имеющая максимальную (в смысле размерности) группу автоморфизмов. Сфера Sⁿ, снабженная К. с. К 0, наз. конформным пространством.

Понятие К. с. тесно связано с понятием конформной связности на М:заданием такой связности всегда определена нек-рая К. с. на М с другой стороны, конформная связность это связность в приведенном главном расслоении, к-рое определяет данная К. с.

Лит.:[1] Коbауashi S., Transformation groups in differential geometry, В.Hdlb.N. Y., 1972; [2] Стернберг С, Лекции по дифференциальной геометрии, пер. с англ., М., 1970; [3] Кимельфельд Б. Н., "Матем. заметки", 1970, т. 8, № 3, с. 321-28; [4] Алексеевский Д. В., "Матем. сб.", 1972, т. 89, № 2, с. 280-96.

Д. В. Алексеевский, Ю. Г. Лумисте.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985