Математическая энциклопедия - контравариантный тензор

валентности тензор типа (r, 0), элемент тензорного произведения rэкземпляров векторного пространства Енад полем К. Относительно операции сложения К. т. одной и той же валентности и умножения их на скаляр Т ^r (Е)является векторным пространством над К. Пусть Еконечномерно и пусть e1, . .., е пбазис в Е. Тогда размерность Т ^r (Е)равна п ^r;базис в Т ^r (Е). состоит из всевозможных К. т. вида

Любой К. т.представляется в виде

Числа наз. координатами, или компонентами, К. т. tотносительно базиса е 1, ..., е п в Е. При переходе в Ек новому базису по формулам

координаты К. т. tизменяются по так наз. контравариантному закону

При валентности r=1 К. т. совпадает с вектором элементом пространства Е;при К. т. можно инвариантным образом связать с r-линейным отображением в Кпрямого произведения экземпляров сопряженного к Епространства Е*. Для этого достаточно принять за координаты К. т. tзначения r-линейного отображения на векторах (где е ¹, . . ., е ⁿэлементы базиса в Е*, сопряженного к е 1,. . ., е п, т. е. иобратно; поэтому иногда К. т. сразу определяют как полилинейный функционал на Е ^r*.

И. X. Сабитов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985