Математическая энциклопедия - конформный радиус

области характеристика конформного отображения односвязной области, определяемая следующим образом. Пусть Dодносвязная область плоскости z, имеющая более одной граничной точки. Пусть z0точка D. Если то существует единственная функция w=f(z), регулярная в D, нормированная условиями f(z0) =0, f'(z0)=1 и однолистно отображающая область Dна круг |w|<r. Радиус r=r(z0, D )указанного круга наз. К. р. области В в точке z0. Если то существует единственная функция w=f(z), регулярная в области Dза исключением точки беск., в окрестности к-рой она имеет разложение в ряд Лорана вида и однолистно отображающая Dна область w>r. В этом случае величина наз. К. р. области Dв точке К. р. области D,в точке беск. равен трансфинитному диаметру границы Собласти D, или емкости множества С.

Расширением понятия К. р. области на случай произвольной области Dкомплексной плоскости, z является понятие внутреннего радиуса области Dв точке (в зарубежной литературе термин "внутренний радиус" употребляется и в случае односвязной области). Пусть Dобласть комплексной плоскости z, z0 точка Dи пусть существует функция Грина g(z,z0) области Dс полюсом в точке z0. Пусть g-постоянная Робэна области Dотносительно точки z0:

Величина r=eV наз. внутренним радиусом области Dв точке z0. Если Dодносвязная область, граница к-рой содержит не менее двух точек, то внутренний радиус области Dв точке равен

К. р. области Dв точке z0. Внутренний радиус области не убывает с расширением области: если области D, D1 имеют функции Грина g(z,z0), g1(z, z0) соответственно, п если то для внутренних радиусов r, r1 областей D, D1 в точке z0 справедливо неравенство

Внутренний радиус произвольной области Dв точке определяется как точная верхняя граница множества внутренних радиусов в точке z0 всех областей, содержащих z0, содержащихся вид имеющих функцию Грина. В соответствии с этим определением, если область Dне обладает функцией Грина, то внутренний радиус r области Dв точке равен

Лит.:[1] Голузин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966; [2] Смирнов В. И., Лебедев Н. А., Конструктивная теория функций комплексного переменного, М.Л., 1964; [3] Хейман В. К., Многолистные функции, пер. с англ., М., 1960.

Г. В. Кузьмина.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985