Математическая энциклопедия - контрагредиентное представление

к представлению j группы Gв линейном пространстве Vпредставление j* этой же группы Gв двойственном к Vпространстве V*, определяемое правилом: для любого где * означает переход к сопряженному оператору.

Более общо, если Wлинейное пространство над тем же полем к, что и пространство V, а ( , ) невырожденная билинейная форма (спаривание) на со значениями в к, то представление y группы Gв Wназ. К. п. к представлению j относительно формы ( , ), если

для любых

Напр., если Gполная линейная группа конечномерного пространства V, то естественное представление Gв пространстве коварнантных тензоров фиксированного ранга на Vявляется К. п. относительно канонического спаривания к естественному представлению Gв пространстве контравариантных тензоров того же ранга на V.

Пусть Vконечномерно над ки (е)его базис, а (f) дуальный к (е)базис в V*. Тогда для любого gиз Gматрица оператора j* (g)в базисе (f) получается из матрицы оператора j (g)в базисе (е)транспонированием и переходом к обратной. Если j неприводимо, то и j* неприводимо. Если Gгруппа Ли с алгеброй Ли g, a djи dy представления алгебры g, индуцированные соответственно представлениями ф и y группы Gв пространствах Vи W, контрагредиентными относительно спаривания ( , ), то

для всех Представления алгебры Ли g, удовлетворяющие условию (*), также наз. К. п. относительно ( , ).

Пусть далее Gкомплексная связная односвязная полупростая группа Ли и ф ее неприводимое конечномерное представление в линейном пространстве V. Веса представления ф* противоположны весам представления j (см. Вес представления), младший вес представления j* противоположен старшему весу представления j (см. Картана теорема о старшем векторе). Представления j и j* эквивалентны тогда и только тогда, когда на Vсуществует ненулевая инвариантная относительно j(G)билинейная форма. Если такая форма существует, то она невырождена и либо симметрична, либо кососимметрична. Набор числовых отметок старшего веса представления j* получается из набора числовых отметок представления ф применением подстановки, индуцированной следующим автоморфизмом v схемы простых корней А группы G:

а) v переводит каждую связную компоненту Di, i=1, . . ., l, схемы D в себя;

б) если Di схема типа А r, D2r+1 или E6 то сужение v на Di однозначно определяется как единственный элемент второго порядка в группе автоморфизмов схемы Di, в остальных случаях сужение v на Di тождественно.

Лит.:[1] Наймарк М. А., Теория представлений групп, М., 1976; [2] Кириллов А. А., Элементы теории представлений, М., 1972; [3] Желобенко Д. П., Компактные группы Ли и их представления, М., 1970; [4] Винберг Э. Б., Онищик А. Л., Семинар по алгебраическим группам и группам Ли. 1967/68, М., 1969.

В. Л. Попов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985