Математическая энциклопедия - конформно-инвариантная метрика

на римановой поверхности Rправило, к-рое каждому локальному параметру z, отображающему параметрич. окрестность в замкнутую комплексную плоскость ставит в соответствие действительную функцию

такую, что для всяких локальных параметров z1 : и z2 : с непустым пересечением в последнем выполнено соотношение

где z(U)образ Uв при отображении z. К.-и. м. часто обозначается символом p(z)|dz|, к-рому приписывается указанная инвариантность относительно выбора локального параметра z.

Всякий линейный дифференциал k(z) dz или квадратичный дифференциал Q(z) dz² порождает К.-и. м. соответственно |l(z)|-|dz| или Понятие

К.-и. м. позволяет ввести понятие длины для кривых на R, а также понятия экстремальной длины и модуля семейств кривых, являющиеся весьма общей формой определения конформных инвариантов (см. Экстремальной метрики метод, а также [1]). Определение К.-и. м. может быть перенесено на римановы многообразия любой размерности.

Лит.:[1] Дженкинс Дж., Однолистные функции и конформные отображения, пер. с англ., М., 1962; [2] Шиффер М., Спенсер Д. К., Функционалы на конечных римановых поверхностях, пер. с англ., М., 1957; [3] Альфорс Л., Берс Л., Пространства римановых поверхностей и квазиконформные отображения, пер. с англ., М., 1961.

П. М. Тамразов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985