Математическая энциклопедия - конформная геометрия

раздел геометрии, в к-ром изучаются свойства фигур, неизменные при конформных преобразованиях. Основным инвариантом К. г. является угол между направлениями.

К. г.это геометрия, определенная в евклидовом пространстве, дополненном одной бесконечно удаленной (несобственной) точкой, с фундаментальной группой точечных преобразований, переводящих сферы в сферы Указанное пространство наз. конформным пространством М п, а фундаментальная группа группой конформных преобразова н и й. В конформном пространстве плоскость является сферой, проходящей через бесконечно удаленную точку

Приведенное определение К. г. справедливо для пространства любого числа измерений; в двумерном случае вместо сфер говорят о кругах (точнее окружностях) При числе измерений преобразования, переводящие сферы в сферы, исчерпывают все преобразования, сохраняющие углы (теорема Лиувилля). При я=2 группа преобразований, сохраняющих углы, шире, однако и здесь название К. г. сохраняется за геометрией с фундаментальной группой точечных преобразований, переводящих круги в круги.

Всякое преобразование из фундаментальной группы К. г. состоит из конечного числа движений, подобных преобразований и инверсий.

Фундаментальная группа К. г. плоскости М 2 изоморфна нек-рой подгруппе проективной группы, именно подгруппе проективных преобразований трехмерного проективного пространства Р 3, переводящих в себя овальную поверхность 2-го порядка, т. е. группе гиперболич. движений трехмерного пространства. Это позволяет применять для К. г. удобный аналитич. аппарат, к-рый используется в неевклидовых геометриях.

Всякая точка Р 3 определяется четырьмя однородными координатами х iили псевдовектором хс этими координатами. Пусть

форма от векторов х, у; Ковальная поверхность 2-го порядка Р 3, задаваемая уравнением -=0, или (xх) = 0. Для точек вне К(xx)>0, внутри ( хx).<0. С помощью абсолюта Косуществляется стереографическая проекция точек абсолюта и точек вне абсолюта на конформную плоскость. Координаты х,-,

точек Р 3 наз. тетрациклическими координатами точек и кругов на плоскости М 2. Так как при стереографич. проекции точки на абсолюте переходят в точки на плоскости, а точки вне абсолюта в круги на плоскости, то группе гиперболнч. движений в Р 3 с абсолютом Кбудет соответствовать группа преобразований на плоскости, при к-рых точки переходят в точки, а круги в круги, т. е. фундаментальная группа К. г. плоскости. Аналитически эта группа задается формулами

где M( х i )и М*( х*i)точки до и после преобразований, причем форма

отличается от формы

только множителем. Если ввести

то условия сохранения квадратичной формы запишутся в виде при

При конформных преобразованиях несобственная точка может переходить в любую другую точку, поэтому круг может перейти в прямую, и обратно. Если потребовать, чтобы несобственная точка переходила в себя, т. е. чтобы прямые переходили в прямые, то подгруппа таких преобразований представляет группу подобных преобразований ( гомотетия и евклидово движение). В Р 3 подгруппе подобия соответствует подгруппа гтшерболпч. движений, оставляющих неподвижной нек-рую фиксированную точку абсолюта.

Другим важным классом конформных преобразований является инверсия. В Р 3 инверсии соответствует полярная гомология, т. е. такое гиперболич. движение, при к-ром каждая пара соответствующих точек Ми М* лежит на прямой, проходящей через нек-рую фиксированную точку Свне абсолюта, и удовлетворяется условие: двойное отношение D(М, М*, С, N)=-1. где Nточка пересечения указанной прямой с плоскостью, полярной точке Сотносительно абсолюта. Также как всякое гнперболпч. движение можно получить с помощью конечного числа полярных гомологии, так и любое конформное преобразование можно получить с помощью конечного числа инверсий.

Основным инвариантом К. г. на плоскости является угол j между двумя кругами. Он выражается по-формуле

где x и у.векторы, соответствующие двум кругам с тетрациклич. координатами х i и yi,-, В гиперболич. геометрии Р 3 угол между кругами на плоскости равен неевклидову расстоянию между точками в пространстве, соответствующими кругам. Инвариантность угла следует из инвариантности расстояния. Условие ортогональности Двух Кругов (xy)=0, условие касания (xx)(yy)-(xy)² = 0. Если один из кругов обращается в точку: (xx)=0, то получается условие инцидентности точки и круга (xy) 0.

Простейшим образом в М 2 является пучок кругов. Он задается уравнением t=ap+bq, где р и qфиксированные круги пучка. В зависимости от знака D=( рр)(qq)-(pq)² пучки бывают: а) эллиптические (D>0), б) гиперболические (D <0), в) параболические (D=0) (см. рис. 1).

В Р 3 пучкам кругов соответствуют прямые. Эллиптическому пучку прямая, не пересекающая абсолют, гиперболическому прямая, пересекающая абсолют, параболическому прямая, касающаяся абсолюта. Так как у всякой прямой Р 3 есть сопряженная ей, то н у всякого пучка в М 2 имеется сопряженный пучок.

Преобразования фундаментальной группы К. г. плоскости это преобразования, задаваемые дробно-линейной функцией комплексного переменного.

В К. г. трехмерного пространства М 3 основными образами являются точки н сферы. Задаются они пентасферическими координатами xi, или псевдовектором x. пятимерного пространства. Угол между сферами определяется по той же формуле, что и угол между кругами на плоскости.