Математическая энциклопедия - ли разрешимая алгебра

алгебра Ли над полем К, удовлетворяющая одному из следующих эквивалентных условий:

1) члены производного ряда для равны {0} при достаточно большом k;

2).существует конечная убывающая цепочка идеалов алгебры таких, что и (т. е. алгебры Ли абелевы) для всех

3) существует конечная убывающая цепочка подалгебр таких, что идеал в одномерная (абелева) алгебра Ли для

Нильпотентная алгебра Ли разрешима. Если F={Vi}полный флаг в конечномерном векторном пространстве Vнад К, то

есть разрешимая подалгебра в алгебре Ли всех линейных преобразований пространства V. Если в Vвыбрать базис, согласованный с флагом F, то в нем элементы алгебры представятся верхними треугольными матрицами; полученная матричная Ли р. а. обозначается t (n, К), где n=dim V.

Класс Ли р. а. замкнут относительно перехода к подалгебре, факторалгебре и расширению. В частности, любая подалгебра в t ( п, К).разрешима. Если char K=0 и поле Калгебраически замкнуто, то любая конечномерная Ли р. а. изоморфна подалгебре в t (n, К).при нек-ром п. Одним из основных свойств Ли р. а. является теорема Ли: пусть Ли р. а. над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 и ее конечномерное линейное представление. Тогда в Vсуществует такой полный флаг F, что В частности, если р неприводимо, то dim V=l. Идеалы алгебры можно выбрать образующими полный флаг, т. е. такими, что

Конечномерная алгебра Ли над полом характеристики 0 разрешима тогда и только тогда, когда алгебра нильпотентна. Другой критерий разрешимости (критерий Картана): алгебра разрешима тогда и только тогда, когда ортогонально всей относительно Киллинга формы (или любой билинейной формы, ассоциированной с точным конечномерным представлением алгебры ).

Ли р. а. впервые рассмотрел С. Ли (S. Lie) в связи с изучением разрешимых групп Ли преобразований. Изучение Ли р. а. приобрело большое значение после введения понятия радикала (т. е. наибольшего разрешимого идеала) произвольной конечномерной алгебры Ли и доказано, что в случае char K=0 алгебра является полупрямой суммой своего радикала и максимальной полупростой подалгебры (см. Леви, Мальцева разложение). Это позволило свести задачу классификации произвольных алгебр Ли к перечислению полупростых (что для было сделано уже В. Киллингом) и разрешимых алгебр. Классификация же Ли р. а. проведена (для ) лишь в размерностях