Математическая энциклопедия - ли линейная алгебра

над полем k-алгебра Ли элементы к-рой являются линейными преобразованиями нек-рого векторного пространства Vнад k; сложение элементов и их умножение на элементы из k определяются обычным образом, а коммутатор [ х, у]элементов х, . задается формулой

( ху н ух - обычные произведения линейных преобразований). Ли л. а., состоящая из всех линейных преобразований пространства V, обозначается Если V=kⁿ, то естественно отождествляется с множеством всех квадратных матриц порядка n над kи обозначается Произвольная Ли л. а. это подалгебра нек-рой алгебры Ли

Примеры. 1) Пусть Vнаделено структурой ассоциативной алгебры. Тогда все дифференцирования алгебры Vобразуют Ли л. а. Если V - алгебра Ли, то для фиксированного элемента присоединенное к хлинейное преобразование пространства V, определенное формулой будет дифференцированием алгебры V; оно обозначается ad х. Множество

является Ли л. а., она наз. присоединенной линейной алгеброй Ли, или алгеброй Ли внутренних дифференцирований алгебры V.2) Пусть k - поле, полное относительно нек-рого нетривиального абсолютного значения, V - нормируемое полное пространство над kи G линейная группа Ли преобразований пространства V, т. е. подгруппа Ли в группе Ли всех автоморфизмов пространства V. Тогда Ли алгебра аналитической группы G естественно отождествляется с подалгеброй Ли в т. е. является Ли л. а.

Проблема существования изоморфизма произвольной конечномерной алгебры Ли с нек-рой Ли л. а. возникла уже в первых работах по теории групп и алгебр Ли, но была положительно решена лишь в 1935 теоремой Адо (см. [4]): каждая конечномерная алгебра Ли над полем нулевой характеристики обладает точным конечномерным представлением (и, более того, если наибольший нильпотентный идеал в то представление можно выбрать так, чтобы все элементы из были нильпотентны). Для групп Ли аналог этой теоремы, вообще говоря, не имеет места: напр., универсальная накрывающая группы вещественных унимодулярных матриц порядка 2 не допускает точного линейного представления.

См. также Ли алгебраическая алгебра. Лит.:[1] Понтрягин Л. С., Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973; [2] Б у р б а к и Н., Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли, пер. с франц., М., 1976; [3] С е р р Ж.-П., Алгебры Ли и группы Ли, пер. с англ. и франц., М., 1969; [4] А д о И. Д., "Успехи матем. наук", 1947, т. 2, в. 6, с. 159-73. В. Л. Попов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985