Математическая энциклопедия - ли полупростая алгебра

алгебра Ли, не имеющая ненулевых разрешимых идеалов (см. Ли разрешимая алгебра). В дальнейшем рассматриваются конечномерные Ли п. а. над полем kхарактеристики 0 (о Лн п. а. над полем ненулевой характеристики см. Ли алгебра).

Полупростота конечномерной алгебры Ли равносильна выполнению любого из следующих условий:

1) не содержит ненулевых абелевых идеалов;

2) Киллинга форма алгебры невырождена (к р и т е р и й К а р т а н а);

3) разлагается в прямую сумму неабелевых простых идеалов;

4) всякое конечномерное линейное представление алгебры вполне приводимо (иначе: всякий конечномерный -модуль полупрост);

5) одномерные когомолопш алгебры со значениями в любом конечномерном -модуле тривиальны.

Любой идеал и любая факторалгебра Ли п. а. также полупросты. Разложение Ли п. а., указанное в условии 3), единственно. Частным случаем свойства 5) является следующее утверждение: все дифференцирования Ли п. а. являются внутренними. Свойство полупростоты алгебры Ли сохраняется как при расширении, так и при сужении основного поля.

Пусть Ли п. а. над алгебраически замкнутым полем k. Присоединенное представление изоморфно отображает алгебру на линейную алгебру Ли к-рая является алгеброй Ли алгебраич. группы всех автоморфизмов алгебры и тем самым Ли алгебраической алгеброй. Элемент наз. полупростым (н и л ь п о т е н т н ы м), если ad X полупрост (соответственно нильпотентен). Это свойство элемента Xсохраняется при любом гомоморфизме алгебры в другую Ли п. а. Связная компонента единицы совпадает с группой внутренних автоморфизмов алгебры т. е. порождается автоморфизмами вида exp (ad X),

При изучении Ли п. а. над алгебраически замкнутым полем kсущественную роль играют корни Ли п. а., к-рые определяются следующим образом. Пусть подалгебра Картана алгебры Для ненулевой линейной функции через обозначается линейное подпространство в заданное условием:

Если то а наз. корнем алгебры относительно Множество всех ненулевых корней наз. корневой системой, или системой корней, алгебры Имеет место корневое разложение:

Корневая система и корневое разложение Ли п. а. обладают следующими свойствами:

1) порождает и является приведенной корневой системой в абстрактном смысле (в линейной оболочке системы над полем действительных чисел). Система неприводима тогда и только тогда, когда проста.

2) Для любого

Существует единственный элемент такой, что

3) Для каждого ненулевого существует единственный такой, что причем

Кроме того,

где ( , ) скалярное произведение, индуцированное формой Киллинга.

4) Если ортогональны относительно формы Кпллинга и

Базис корневой системы наз. также системой простых корней алгебры

Пусть система положительных корней относительно данного базиса и пусть Тогда элементы

составляют базис алгебры наз. базисом К а р т а н а. С другой стороны, элементы

составляют систему образующих алгебры причем определяющие соотношения имеют следующий вид:

Из свойства 4) следует равенство

где Элементы можно выбрать таким образом, чтобы

где р - наибольшее целое число такое, что Соответствующий базис Картана наз. базисом Ш е в а л л е. Структурные константы алгебры в этом базисе являются целыми, что позволяет связать с алгебры Ли и алгебраич. группы (см. Шевалле группа).над полями произвольной характеристики. Если то линейная оболочка над векторов

является компактной вещественной формой алгебры

Ли п. а. определяется с точностью до изоморфизма своей подалгеброй Картана и соответствующей корневой системой. Точнее, если Ли п. а. над k, их подалгебры Картана, соответствующие корневые системы, то всякий изоморфизм индуцирующий изоморфизм корневых систем продолжается до изоморфизма С другой стороны, любая приведенная корневая система может быть реализована как корневая система нек-рой Ли п. а. Таким образом, классификация Ли п. а. (соответственно простых неабелевых алгебр Ли) над алгебраически замкнутым полем kпо существу совпадает с классификацией приведенных корневых систем (соответственно неприводимых приведенных корневых систем).

Простые алгебры Ли, отвечающие корневым системам типов А D, наз. классическими и имеют следующий вид.

Тип алгебра линейных преобразований пространства kⁿ⁺¹ со следом 0;

Тип алгебра линейных преобразований пространства k²ⁿ⁺¹, кососимметрических относительно заданной невырожденной симметрической билинейной формы;

Тип алгебра линейных преобразований пространства k²ⁿ, кососимметрических относительно заданной невырожденной кососимметрической билинейной формы;

Тип алгебра линейных преобразований пространства k²ⁿ, кососимметрических относительно заданной невырожденной симметрической билинейной формы;

Простые алгебры Ли, отвечающие корневым системам типов E6, E7, Е 8, F4, G2, наз. особыми, или исключительными (см. Ли особая алгебра).

Картана матрица Ли п. а. над алгебраическим замкнутым полем также определяет эту алгебру однозначно с точностью до изоморфизма. Матрицы Картана простых алгебр Ли имеют следующий вид: