Математическая энциклопедия - ли банахова группа

множество G, снабженное одновременно структурой группы и структурой аналитич. анахова многообразия; эти две структуры согласованы в следующем смысле: отображение из в G является аналитическим. В случае, если банахово многообразие конечномерно, это понятие совпадает с обычным понятием группы Ли.

Примеры. Банахово пространство с операцией сложения, множество А* обратимых элементов в банаховой алгебре Ас операцией умножения, множество C^k(M, G) k -гладких функций на гладком многообразии со значениями в группе Ли Gс операцией поточечного умножения являются Ли б. г. С другой стороны, множество k-гладких взаимно однозначных отображений гладкого многообразия Мна себя не является Ли б. г.: естественные структуры банахова многообразия и группы (относительно операции композиции) в этом случае не согласованы.

Для Ли б. г. остаются справедливыми нек-рые основные теоремы теории групп Ли: каждой Ли б. г. соответствует банахова алгебра Ли, по к-рой, в свою очередь, восстанавливается локальная Ли б. г. Известно, однако, что не всякая локальная Ли б. г. продолжается до глобальной [2]; окрестность единицы в Ли б. г. покрывается образом экспоненциального отображения; имеется соответствие между связными замкнутыми подгруппами Ли б. г. и замкнутыми подалгебрами соответствующей алгебры Ли.

Имеются различные обобщения понятия Ли б. г. (см. [3]), в к-рых структура банахова пространства заменяется структурой линейного топологич. пространства более общего типа.

Лит.:[1] Б у р б а к и Н., Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли, пер. с франц., М., 1976; [2] D е 1 а Н а r р е P., Classical Banach Lie algebras and Banach Lie groups of operators in Hilbert space, B.[a. o.], 1972; [3] О m о r i H., Infinite dimensional Lie transformation groups, B.[a. o.], 1974. А. А. Кириллов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985