Математическая энциклопедия - ли локальная группа

аналитическая локальная группа,аналитическое многообразие Gнад полем k, полным относительно нек-рого нетривиального абсолютного значения, снабженное отмеченным элементом е(единицей), открытым подмножеством и парой аналитич. отображений многообразия окрестности Uв себя, для которых:

1) в некоторой окрестности точки евыполняется тождество ge=eg;

2) в некоторой окрестности точки евыполняется тождество

3,) для некоторой окрестности точки евыполняется включение причем g(hr)=(gh)r, где g, h, r - любые элементы из V.

Ли л. г. впервые появились в трудах С. Ли (S. Lie) и его школы (см. [1]) как локальные Ли, группы преобразований.

Пусть G1 и G2две Ли л. г. с единицами е 1 н е 2 соответственно. Локальным гомоморфизмом G1 в G2 (обозначается ) наз. аналитич. отображение нек-рой окрестности в G1, для к-рого f(e1)=e2 и f(gh)=f(g)f(h).для g, h из нек-рой окрестности точки е 1. Определяемая естественным образом композиция локальных гомоморфизмов также есть локальный гомоморфизм. Локальные гомоморфизмы совпадающие в нек-рой окрестности точки е 1 наз. эквивалентными. Если существуют такие локальные гомоморфизмы и что композиции эквивалентны тождественным отображениям, то Ли л. г. G1 и G2 наз. эквивалентными.

Пример. Пусть аналитич. руппа с единицей е к G - открытая окрестность точки ев Тогда аналитич. структура на индуцирует аналитич. структуру на G, причем операции умножения и взятия обратного элемента в превращают G в Ли л. г. (в частности, сама может рассматриваться как Ли л. г.). Все Ли л. г. G, получаемые таким способом из фиксированной аналитич. руппы эквивалентны между собой.

Один из принципиальных вопросов теории групп Ли состоит в том, насколько общий характер имеет приведенный выше пример, т. е. будет ли всякая Ли л. г. (с точностью до эквивалентности) окрестностью нек-рой аналитич. руппы. Ответ на этот вопрос положителен (см. [2], [3], [4]), в случае банаховых Ли л. г. ответ отрицателен (см. [4J).

Важнейшим средством изучения Ли л.