Математическая энциклопедия - ли редуктивная алгебра

конечномерная алгебра Ли над полем kхарактеристики 0, присоединенное представление к-рой вполне приводимо. Свойство редуктивности алгебры Ли равносильно любому из следующих свойств:

1) радикал алгебры Ли совпадает с центром

2) , где полупростой идеал в ;

3) где простые идеалы;

4) допускает точное вполне приводимое конечномерное линейное представление.

Свойство редуктивности алгеб, ры Ли сохраняется как при расширении, так и при сужении основного поля k.

Важный класс Ли р. а. над составляют компактные алгебры Ли (см. Ли компактная группа). Группу Ли, алгебра Ли к-рой редуктивна, часто наз. р е д у к т и в н о й группой Ли. Если kалгебраически замкнуто, то алгебра Ли над kявляется редуктивной тогда и только тогда, когда она изоморфна алгебре Ли нек-рой редуктивной алгебраич. группы над k.

Обобщением понятия Ли р. а. является следующее понятие. Подалгебра конечномерной алгебры Ли над kназ. редуктивной в если присоединенное представление ad: вполне приводимо. В этом случае будет Ли р. а. Если kалгебраически замкнуто, то для редуктивности подалгебры в необходимо и достаточно следующее условие: состоит из полупростых линейных преобразований.

Лит.:[1] С е р р Ж.П., Алгебры Ли и группы Ли, пер. с англ, и франц., М., 1969. А. Л. Онищик.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985