Математическая энциклопедия - ли компактная группа

компактная группа, являющаяся конечномерной вещественной группой Ли. Ли к. г. могут быть охарактеризованы как конечномерные локально связные компактные топологич. группы.

Если G⁰ - связная компонента единицы Ли к. г. С, то группа связных компонент G/G⁰ конечна. Собственно к теории групп Ли относится изучение строения связных Ли к. г.

Следующие примеры связных Ли к. г. играют важную роль в общей структурной теории Ли к. г .

1) Мультипликативная группа Т ¹ всех комплексных чисел, равных по модулю 1.

2) Группа SU(n) всех комплексных унитарных матриц порядка пс определителем 1.

3) Группа SO (n).всех вещественных ортогональных матриц порядка пс определителем 1.

4) Группа Sp (n) всех матриц для к-рых

Тзнак транспонирования и 1n единичная матрица порядка п.

Полная классификация связных Ли к. г. была получена в трудах Э. Картана [1] и Г. Вейля [2]. Она состоит в следующем.

Имеются два основных типа связных Ли к : г.

1) С в я з н ы е коммутативные Ли к. г.

Это в точности торы, т. е. группы вида

2) Связные полупростые Ли к. г. (см. Ли полупростая группа). Если Gсвязная полупростая Ли к. г., то универсальная накрывающая группа группы Gтакже является Ли к. г. (теорема Beйля). Центр Zгруппы конечен, а все связные группы Ли, локально изоморфные G, компактны и исчерпываются с точностью до изоморфизма группами вида G/D, где Алгебры Ли полупростых Ли к. г. могут быть внутренне охарактеризованы среди всех конечномерных вещественных алгебр Ли как алгебры с отрицательно определенной Киллинга формой.

Указанные два основных типа связных Ли к. г. определяют строение произвольных связных Ли к. г. А именно, последние с точностью до изоморфизма исчерпываются всевозможными факторгруппами вида где G - связная односвязная Ли к. г. с центром Z, Т - тор, a D - конечная подгруппа в группе пересекающаяся с Тлишь по единице. Алгебры Ли произвольных Ли к. г. также могут быть внутренне охарактеризованы среди всех конечномерных вещественных алгебр Ли: это в точности алгебры Ли g, обладающие таким положительно определенным скалярным произведением ( ,), что " " для любых Они наз. компактными алгебрами Ли.