Математическая энциклопедия - ли градуированная алгебра

алгебра Ли над полем К, градуированная при помощи нек-рой абелевой группы А, т. е. разложенная в прямую сумму подпространств , таким образом, что Если А - упорядоченная группа, то для каждой фильтрованной алгебры Ли ассоциированная с ней градуированная алгебра является Ли г. а.

Ли г. а. играют важную роль в классификации простых конечномерных алгебр Ли, йордановых алгебр и их обобщений, примитивных псевдогрупп преобразований (см. [3], [4]). Для любой полупростой вещественной алгебры Ли ее Картана разложение может рассматриваться как -градуировка. Локальная классификация римановых симметрич. пространств сводится к классификации -градуированных простых комплексных алгебр Ли [6].

Некоторые конструкции градуированных алгебр Ли. 1) Пусть Uассоциативная алгебра, снабженная возрастающей фильтрацией причем где d - фиксированное натуральное число, и Тогда операция коммутирования в U индуцирует в пространстве структуру -градуированной алгебры Ли. Таким путем могут быть получены нек-рые алгебры Ли функций с Пуассона скобкой ъ качество коммутатора. В следующих двух примерах при k>0 и Uk=0 при k<0. а) Пусть U - алгебра линейных дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами, U1- подпространство, натянутое на се образующие i=l, . . ., т. Тогда и U есть алгебра Ли многочленов от р i, gi с обычной скобкой Пуассона. б) Пусть U - универсальная обертывающая алгебра конечномерной алгебры Ли причем U1=g. Тогда и канонически изоморфна (как векторное пространство) симметрич. алгебре над т. е. алгебре многочленов на сопряженном пространстве (теорема Пуанкаре Бнркгофа-Витта). Если алгебра Ли связной группы Ли G, то коммутатор элементов из можно интерпретировать либо как скобку Пуассона для соответствующих левоинвариантных функций на кокасательном расслоении T*G, либо как скобку Пуассона на каждой орбите ко-присоединенного представления, определяемую посредством стандартной симплектич. структуры на этих орбитах.

2) Пусть char Eесть re-мерное векторное пространство над К, снабженное невырожденной квадратичной формой Q', e1, ..., е п - нек-рый ортогональный базис в Е. Разложение Клиффорда алгебры С(Q).в сумму одномерных подпространств i1, ..., ik, является ее -градуировкой. При n=2m элементы алгебры С(Q).с нулевым следом образуют простую Ли г. а. типа ее градуировка обладает высокой степенью симметрии; в частности, все градуирующие подпространства равноправны. Аналогичные градуировки (при помощи различных конечных групп) имеются и у других простых алгебр Ли [1].

3) Каждой псевдогруппе Ли преобразований отвечает нек-рая алгебра Ли векторных полей. Росток lэтой алгебры Ли в любой точке обладает естественной

-фильтрацией

где к lk относятся ростки тех векторных полой, координаты к-рых разлагаются в степенные ряды без членов степени меньше чем k+l. Ассоциированная Ли г. а. может быть интерпретирована как нек-рая алгебра Ли полиномиальных векторных полей.

Классификация простых градуированных алгебр Ли. Простым примитивным псевдогруппам Ли соответствуют следующие 4 серии простых бесконечномерных Ли г. а. (см. [5]):

Wn- алгебра Ли всех полиномиальных векторных полей в n-мерном аффинном пространстве;

Sn - ее подалгебра, состоящая из векторных полей с нулевой дивергенцией;

Н п, где n=2m,подалгебра, состоящая из векторных полей, аннулирующих дифференциальную форму

(гамильтоновых векторных полей);

К n, где n=2m+l,подалгебра, состоящая из векторных полей, умножающих дифференциальную форму

на функцию.

Над полями характеристики р>0 могут быть определены простые конечномерные Ли г. а., аналогичные Wn, Sn, Н n и Kn (см. [5]).

Простые Ли г. а. другого типа получаются следующим образом [4]. Пусть алгебра Ли, определяемая при помощи неразложимой матрицы Картана (здесь и далее употребляются обозначения статьи Картана матрица). Алгебра снабжается -градуировкой так, что

строка (0. . .1. . .0), причем 1 стоит на i-м месте. Элементы для к-рых наз. корнями, а ai простыми корнями. Всякий корень есть линейная комбинация простых корней с целыми коэффициентами одного знака и для любого Факторалгебра алгебры по ее центру, лежащему в проста как градуированная алгебра, т. е. не имеет нетривиальных градуирован, идеалов.

Пусть Рсовокупность линейных комбинаций строк матрицы Ас положительными коэффициентами. Имеет место один из следующих случаев:

(П) Рсодержит строку, все элементы к-рой положительны;

(Н) Рсодержит нулевую строку;

(О) Рсодержит строку, все элементы к-рой отрицательны.

В случае простая конечномерная алгебра Ли. В случае простая бесконечномерная алгебра Ли. В случае (Н) алгебра проста лишь как градуированная алгебра. Она может быть превращена в -алгебру так, что: а) где v нек-рая строка из положительных чисел; б) факторалгебра есть простая конечномерная алгебра Ли. Наибольший общий делитель всех компонент vi строки v, равный 1, 2 или 3, наз. индексом алгебры