Математическая энциклопедия - перестановок критерий

статистический критерий, предназначенный для проверки гипотезы Н *, согласно к-рой плотность вероятности наблюдаемого случайного вектора Х=( Х 1, . . ., Xn).принадлежит семейству всех n-мерных плотностей, симметричных относительно перестановок аргументов.

Пусть по реализации случайного вектора Х=( Х 1,..., Х n), принимающего значения х=(x1, . . ., х n).в n-мерном евклидовом пространстве , надлежит проверить гипотезу Н * о принадлежности плотности вероятности р(х).случайного вектора Xсемейству

всех n-мерных плотностей р(х) = р( х 1,...,х n), симметричных относительно перестановок аргументов x1 ,..., х п, то есть

где произвольный вектор из пространства всех перестановок (r1, r2, . . ., rn) вектора (1,2, . . ., n). Пространство является множеством всех реализаций вектора рангов R =(R1, R2,..., Rn), естественным образом возникающим при построении вектора порядковых статистик , принимающего значения в множестве При справедливости гипотезы Н * статистики и Rстохастически независимы, при этом

(*)

а плотность вероятности вектора порядковых статистик равна

Свойство (*) равномерной распределенности статистики Rпри справедливости гипотезы Н * и лежит в основе построения П. к.

Если функция, определенная на таким образом, что , и для любого она является измеримой относительно борелевской s-алгебры пространства и, кроме того, для нек-рого

почти всюду,

то статистич. критерий для проверки H*, имеющий критич. функцию

наз. критерием перестановок. Если П. к. не является рандомизированным, то aследует выбирать кратным 1/n!.

Наиболее мощный критерий для проверки H* против простой альтернативы q(x)(q(x).произвольная n-мерная плотность, не принадлежащая семейству Н *) может быть найден в семействе П. к.

Семейство П. к. и семейство критериев, инвариантных относительно изменения параметров сдвига и масштаба, играют большую роль при построении ранговых критериев. И, наконец, следует отметить, что в литературе по математич. статистике вместо термина П. к. часто употребляют термин "рандомизации критерий".

См. Порядковая статистика, Инвариантный критерий, Критическая функция.

Лит.:[1] Гаек Я., Шидак 3., Теория ранговых критериев, пер. с англ., М., 1971; [2] Л еман Э., Проверка статистических гипотез, пер. с англ., 2 изд., М., 1979.

М. С. Никулин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985