Математическая энциклопедия - предельное множество

траектории {f^tx} динамической системы f^tмножество А х всех a-предельных точек (a-предельное множество) или множество Wx всех сопредельных точек (w-предельное множество) этой траектории (см. Предельная, точка траектории). Для траектории {f^t х} системы (или, иначе, f(t, х), см. [1]) a-П. м. (соответственно w-П. м.) то же, что w-П. м. (соответственно a-П. м.) траектории {f^-t х} динамич. системы f^-t (системы с обращением времени). Поэтому свойства a-П. м. аналогичны свойствам w-П. м.

Множество Wx - замкнутое инвариантное множество. Если , то траектория {f^t х} наз. уходящей в положительном направлении; если , то траектория {f^t х} наз. уходящей в отрицательном направлении; если , то траектория наз. уходящей. Если , то точка хназ. положительно устойчивой по Пуассону; если , то точка хназ. отрицательно устойчивой по Пуассону; если , то точка хназ. устойчивой по Пуассону. Если и , то точка хназ. положительно асимптотической; если и , то точка хназ. отрицательно асимптотической.

Если точка хположительно устойчива по Лагранжу (см. Устойчивость по Лагранжу), то Wxнепустое связное множество,

(где d(z, Y).расстояние от точки z до множества Y) и в Wx найдется рекуррентная точка (траектория). Если х - неподвижная точка, то Wx={x}. Если х - периодич. точка, то

где Г период. Если точка хположительно устойчива по Пуассону, но не неподвижная и не периодическая, а метрич. пространство, на к-ром задана рассматриваемая динамич. система, полно, то в Wx всюду плотны точки, не принадлежащие траектории {f^t х}. Если динамич. система задана на плоскости автономной системой дифференциальных уравнений

(гладким векторным полем f(x)), точка хположительно устойчива по Лагранжу, но не периодическая и f(х).не обращается в нуль на множестве Wx (т. е. множество Wx не содержит неподвижных точек), то Wx- цикл, т. е. замкнутая кривая (траектория периодич. точки), а траектория {f^tx} при спиралевидно наматывается на этот цикл. У динамич. систем, заданных на , или на нек-рых двумерных поверхностях, напр, на торе, w-П. м. могут быть устроены иначе. Напр., у иррациональной обмотки тора (система

циклич. координаты на торе Т ²,m, иррациональное число) множество Wx для всякой точки х=(j, y) совпадает со всем тором.

Лит.:[1]Немыцкий В. В., Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М.Л., 1949; [2] Понтрягив Л. С., Овыкновенные дифференциальные уравнения, 4 изд., М., 1974.

В. М. Миллионщиков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985