Математическая энциклопедия - про-p-группа

проконечная группа, являющаяся проективным пределом конечных р-групп. Напр., аддитивная группа кольца целых р-адичсских чисел является П.-р-г. В теории Галуа П.-р-г. появляются как группы Галуа р-расширений полей.

Пусть Gесть П.-p-г. Ее системой образующих наз. подмножество , обладающее свойствами: 1) Gсовпадает с минимальной замкнутой подгруппой группы G, содержащей Е,2) в любой окрестности единицы группы Gсодержатся почти все (т. е. все, кроме конечного числа) элементы из Е.

Пусть I множество индексов и FI - абстрактная свободная группа с системой образующих . Проективный предел F(I).системы групп FI/N, где N такие нормальные делители группы FI, что индекс подгруппы Nв FI является степенью числа р, а почти все элементы ai, , лежат в N, является П.-р-г., к-рая наз. свободной П.-р-г. с системой образующих . Всякая замкнутая подгруппа свободной П.-р-г. сама является свободней П.-р-г. Всякая П.-р-г. Gесть факторгруппа свободной П.-р-г., то есть существует точная последовательность гомоморфизмов П.-р-г.

где F - подходящая свободная П.-р-г. (эта последовательность наз. представлением группы Gс помощью F). Подмножество наз. системой соотношений группы G, если Rявляется наименьшим замкнутым нормальным делителем в R, содержащим Е, и любой открытый нормальный делитель в Rсодержит почти все элементы из Е. Мощности минимального (относительно включения) множества образующих и минимальной системы соотношений соответствующего представления П.-р-г. Gдопускают когомологич. интерпретацию: первая мощность совпадает с размерностью над пространства , а вторая с размерностью над пространства . Здесь рассматривается как дискретный G-модуль с тривиальным действием. Если G - конечная р-группа, то

4 dim H² (G)(dim H¹ (G) -1)²;

из этого результата выводится отрицательное решение классич. проблемы башни полей классов [4].

Лит.:[1] Серр Ж.-П., Когомологии Галуа, пер. с франц., М., 1008; [2] Кох X., Теория Галуа р-расширений, пер. с нем., м., 1973; [3] Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1969; [4] Голод Е. С., Шафаревич И. Р., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1964, т. 28, № 2, с. 261-72.

В. Л. Попов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985