Математическая энциклопедия - проективное преобразование

взаимно однозначное отображение F .проективного пространства ПД на себя, сохраняющее отношение порядка частично упорядоченного (по включению) множества всех подпространств П n, т. е. отображение П n в себя такое, что

1) если , то ;

2) для каждого S р существует Sp такое, что F(Sp).p;

3) Sp=Sq тогда и только тогда, когда F(Sp)= F(Sq).

При П. п. сохраняются сумма и пересечение подпространств, точки отображаются в точки, независимость точек сохраняется. П. п. образуют группу, наз . проективной группой. Примеры II. п.: коллинеация, перспектива, гомология.

Пусть пространство П n интерпретируется как совокупность подпространств Р n (К).левого векторного пространства А п+1 (К).над телом К;полулинейным преобразованием А п+1 в себя наз. пара , состоящая из автоморфизма аддитивной группы An+1 и автоморфизма j тела Ктакого, что для любых и имеет место: ; в частности, полулинейное преобразование является линейным, если . Полулинейное преобразование индуцирует П. п. F. Обратное утверждение первая основная теорема проективной геометрии: если , то каждое П. п. Fиндуцируется нек-рым полулинейным преобразованием пространства А n+1 (К).

Лит.:[1] Бэр Р., Линейная алгебра и проективная геометрия, пер. с англ., М., 1955; [2] Ходж В., Пидо Д., Методы алгебраической геометрии, пер. с англ., т. 1, М., 1954.

М. Я. Войцеховский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985