Математическая энциклопедия - проективный предел

обратный пре-д е л,конструкция, возникшая первоначально в теории множеств и топологии, а затем нашедшая широкое применение во многих разделах математики. Наиболее часто используется П. п. семейства однотипных мате-матич. структур, индексированных элементами нек-рого предупорядоченного множества. Пусть I множество, снабженное отношением предпорядка , и каждому элементу сопоставлено множество Xi, а каждой паре , в к-рой , сопоставлено отображение , причем , тождественные отображения и jijjjk=jik при . Множество X ваз. проективным пределом семейства множеств Xi и отображений jij, если выполнены следующие условия: а) существует такое семейство отображений , что pijij=pj для любой пары ; б) для любого семейства отображений ai: YXi, , произвольного множества Y, для к-рого выполнены равенства aijij=aj при , существует такое однозначно определенное отображение , что ai=api для всех . Конструктивно П. п. можно описать следующим образом: рассматривается прямое произведение и в нем выделяется подмножество всех функций , для к-рых выполняются равенства jij(f(i)=f(j) при . Это подмножество является П. п. семейства Xi. Если все Xi снабжены дополнительной однотипной структурой, к-рая переносится на , то эта же структура индуцируется и в П. п. Поэтому можно говорить о П. п. групп, модулей, топологич. пространств и т. д.

Естественным обобщением понятия П. п. является понятие П. п. функтора. Пусть одноместный ковариантный функтор из малой категории в произвольную категорию . Объект , вместе с морфизмами , наз. проективным пределом (обратным пределом, или просто пределом) функтора F, если выполнены следующие условия: а) pDF(j)= =pD' для любого морфизма ; б) для всякого семейства морфизмов , для к-рого aDF(j) = aD' при , существует такой единственный морфизм что jD = apD' для любого . Обозначение: lim F=(X,jD). Аналогично определяется проективный предел контравариантного функтора.

Примеры П. п. 1) Пусть I дискретная категория. Тогда для произвольного функтора проективный предел функтора Fсовпадает с прямым произведением семейства объектов

2) Пусть категория с двумя объектами А, В и двумя неединичными морфизмами . Тогда предел любого функтора является ядром пары морфизмов F(a), F(b).

Если в категории существуют произведения любых семейств объектов и ядра пар морфизмов, то в существует предел любого функтора из произвольной малой категории . М . Ш. Цаленко.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985