Математическая энциклопедия - промежуточный якобиан

набор комплексных торов, определяемых нечетномерными когомоло-гиями комплексного кэлерова многообразия, геометрия к-рых тесно связана с геометрией самого многообразия.

Пусть (соответственно ) пространство re-мерных когомологий с действительными (соответственно с целыми) коэффициентами комилексно-аналитич. кэлерова многообразия X. На веществ. торе

при нечетном пможно двумя различными способами ввести комплексную структуру, используя представление n-мерных когомологий с комплексными коэффициентами в виде прямой суммы пространств Н ^р,q гармонич. форм типа ( р, q). Пусть проекция, а

операторы, переводящие когомологий с действительными коэффициентами в себя. Полагая

для любого w из , получают комплексные структуры на Т ^п (Х), первая из к-рых (X).наз. промежуточным якобианом Вейля, а вторая промежуточным тором Гриффитса. Если X - многообразие Ходжа, то ходжева метрика на Xканонически определяет на П. я. структуру поляризованного абелева многообразия, что не всегда имеет место для . С другой стороны, при голоморфной вариации многообразия Xпромежуточные торы варьируются голоморфно [2], а П. я. Вейля этим свойством могут не обладать. Сup-произведение, задающее спаривание пространств и , где , определяет комплексное спаривание торов и и двойственность между абелевыми многообразиями и . В случае, когда =2k+l, П. я. является самодвойственным абелевым многообразием с главной поляризацией, а главным тором. П. я. служит важным инвариантом кэлеровых многообразий. Если для двух многообразий Xи Yиз совпадения (соответственно ) следует, что , то говорят, что для Xвыполнена теорема Торелли. Теорема Торелли выполняется, напр., для алгебраич. кривых. С помощью П. я. была доказана нерациональность общей кубики в проективном пространстве Р ¹ (см. [1]) и нек-рых других многообразий Фано.

Лит.:[1] Сlemens С.,Griffiths Ph., "Ann. Math.", 1972, v. 95, № 2, p. 281-356; [2] Сriffiths P h. "Amer. J. math.", 1968, v. 90, p. 568-626, 805-65; [3] Wei1 A., "Amer. J. math.", 1952, v. 74, p. 865 94. Вик. С. Куликов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985