Математическая энциклопедия - расходящийся ряд

ряд, у к-рого последовательность частичных сумм не имеет конечного предела. Напр., ряды

расходятся.

Р. р. стали появляться в работах математиков 17-18 вв. Л. Эйлер (L. Euler) первым пришел к выводу, что нужно ставить вопрос, не чему равна сумма, а как определить сумму Р. р., и нашел подход к решению этого вопроса, близкий к современному. Р. р. до кон. 19 в. не находили применения и были почти забыты. Накопление к кон. 19 в. различных фактов математич. анализа вновь пробудило интерес к Р. р. Стал выдвигаться вопрос о возможности суммирования рядов в нек-ром смысле, отличном от обычного.

П р и м е р ы. 1) Если перемножить два ряда

сходящихся соответственно к А и В, то полученный в результате перемножения ряд

(1)

может оказаться расходящимся. Однако если сумму ряда (1) определить не как предел частичных сумм sn, а как

(2)

то в этом смысле ряд (1) всегда будет сходиться (т. е. предел в (2) будет существовать) и его сумма в этом смысле равна С=АВ.

2) Ряд Фурье функции f(х), непрерывной в точке х 0 (или имеющей разрыв 1-го рода), может расходиться в этой точке. Если же сумму ряда определить по формуле (2), то в этом смысле ряд Фурье такой функции всегда будет сходиться и его сумма в этом смысле равна f(x0) (или соответственно , если х 0 - точка разрыва 1-го рода).

3) Степенной ряд

(3)

сходится для к сумме и расходится для . Если сумму ряда определить как

(4)

где sn частичные суммы ряда (3), то в этом смысле ряд (3) будет сходиться для всех z, удовлетворяющих условию Re z<l, причем его суммой будет функция

Для обобщения понятия суммы ряда в теории Р. р. рассматривают нек-рую операцию или правило, в результате к-рого Р. р. ставится в соответствие определенное число, наз. его суммой (в этом определении). Такое правило наз. суммирования, методом. Так, правило, описанное в примере 1), наз. методом суммирования средних арифметических (см. Чезаро методы суммирования). Правило, определяемое в примере 2), наз. Бореля методом суммирования.

См. также Суммирование расходящихся рядов. Лит.:[1] В о г е 1 Е., Lecons sur les series divergentes, P., 1928; [2] Х а р д и Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951; [3] Кук Р., Бесконечные матрицы и пространства последовательностей, пер. с англ., М., I960; [4] Р е у е r i m h о f f A., Lectures on summability, В., 1969; [5] К n о р р К., Theory and application on infinite series, N. Y., 1971; [6] Z e 1 1 е r К., B e e k m a n n V., Theory der Limitierungsverfahren, B.Hdlb. N. Y., 1970. И. И. Волков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985