Математическая энциклопедия - распределение вероятностей

одно из основных понятий вероятностей теории и математической статистики. При современном подходе в качестве математич. модели изучаемого случайного явления берется соответствующее вероятностное пространство{W, S, Р}, где W множество элементарных событий, S - выделенная в W s-алгебра подмножеств, Р - определенная на Sмера со свойством Р(W)=1 (вероятностная мера).

Любую такую меру на {W, S}и называют р а с п р е-д е л е н и е м в е р о я т н о с т е й (см. [1]). Однако это определение, являющееся основой аксиоматики А. Н. Колмогорова (1933), при последующем развитии теории оказалось чрезмерно общим и было, с целью исключения нек-рых "патологических" случаев, заменено более ограничительным, напр. требованием "совершенности" вероятностной меры Р(см. [2], особенно добавление к англ. переводу [3] этой книги). От Р. в. в функциональных пространствах требуют обычно выполнения нек-рого свойства регулярности, формулируемого как сепарабельность, но допускающее формулировку и в других терминах (см. Сепарабельный процесс, а также [4]).

Р. в., встречающиеся в большинстве конкретных задач теории вероятностей и математич. статистики, весьма немногочисленны. Все они давно известны и связаны с основными вероятностными схемами [5]. Они описываются или вероятностями отдельных значений (см. Дискретное распределение).или плотностями вероятности (см. Непрерывное распределение). В необходимых случаях для них составлены таблицы [6].

Из этих основных Р. в. одни связаны с повторениями независимых испытаний (см. Биномиальное распределение, Геометрическое распределение, Полиномиальное распределение), а другие с соответствующими этой вероятностной схеме предельными закономерностями, возникающими при неограниченном возрастании числа испытаний (см. Нормальное распределение, Пуассона распределение. Арксинуса распределение). Однако эти предельные распределения могут возникать и как точные: в теории случайных процессов (см. Винеровский процесс, Пуассоновский процесс).или как решения уравнений, возникающих в т. н. характеризационных теоремах (см. также Нормальное распределение, Показательное распределение). Равномерное распределение вероятностей, принимаемое обычно как математич. выражение равновозможности соответствующих исходов опыта, также может быть получено как предельное (напр., при приведении по какому-то модулю суммы большого числа случайных величин или каких-либо других случайных величин с достаточно гладкими "расплывающимися" распределениями). Из упомянутых выше основных Р. в. получают другие Р. в. с помощью функциональных преобразований рассматриваемых случайных величин. Так, напр., в математич. статистике из нормально распределенных случайных величин получают величины, имеющие чхи-квадратч> распределение, нецентральное "хи-квадрат" распределение, Стъюдента распределение, Фишера F-распределение и др.

Важные классы распределений были открыты в связи с развитием асимптотич. методов теории вероятностей и математич. статистики (см. Предельные теоремы, Устойчивое распределение, Безгранично делимое распределение, "Омега-квадрат" распределение).

Стеоретической и прикладной точек зрения важно умение определить понятие близости распределений. Совокупность всех Р. в. на [Q, S} может быть различными способами превращена в топологич. пространство. При этом основную роль играет слабая сходимость Р. в. (см. Распределений сходимость). В одномерном и конечномерном случаях основным средством изучения сходимости Р. в. является аппарат характеристических функций.

Часто полное описание Р. в. (напр., при помощи плотности вероятности или распределения функции).заменяют заданием небольшого числа характеристик. Из этих характеристик наиболее употребительны математическое ожидание (среднее значение), дисперсия, медиана и моменты, в одномерном случае. О числовых характеристиках многомерных Р. в. см. Корреляция, Регрессия.

Статистическим аналогом Р. в. является эмпирическое распределение. Эмпирич. распределение и его характеристики могут быть использованы для приближенного представления теоретического Р. в. и его характеристик (см. Оценка статистическая). О способах измерения степени согласия эмпирия, распределения с гипотетическим Р. в. см. Статистических гипотез проверка, Непараметрические методы статистики.

Лит.:[1] Колмогоров А. Н., Основные понятия теории вероятностей, 2 изд., М., 1974; [3] Гн еден к о Б. В., Колмогоров А. П., Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, М.Л., 1949; [3] и х ж е, . Limit distributions for sums of independent random variables,

Camb. Mass. 1954; [4] П р о х о р о в Ю. В., в кн.: Proc. fourth Berkeley symposium on mathematical statistics and probability, v. 2, Berkeley LosAng., 1961, p. 403--19; [51 Ф е л л e р В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1-2, М., 1967; [6] Б о л ь ш е в Л. Н., С м и рн о в Н. В., Таблицы математической статистики, 2 изд., М., 1968; [7] Г н е д е н к о Б. В., Курс теории вероятностей, 5 изд., М., 1969; [8] К р а м е р Г., Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975; [9] Н е в ё Ж., Математические основы теории вероятностей, пер. с франц., М., 1969.

Ю. В. Прохоров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985