Математическая энциклопедия - распределении сходимость

в основном слабая сходимость и сходимость по вариации, определяемые следующим образом. Последовательность распределений (вероятностных мер) { Р п}. на борелевских множествах метрич. пространства Sназ. с л а б о с х о д я щ е й с я к р а с п р е д е л е н и ю Р, если

для любой действительной ограниченной непрерывной функции f на S. Слабая сходимость является основным типом сходимости, рассматриваемым в теории вероятностей. Обозначают ее обычно знаком . Следующие условия равносильны слабой сходимости:

1) соотношение (*) выполняется для любой ограниченной равномерно непрерывной действительной функции f;

2) соотношение (*) выполняется для любой ограниченной непрерывной Р-почти всюду действительной функции f;

3)

для любого замкнутого множества FМS;

4)

для любого открытого множества GМS;

5)

для любого борелевского множества AМSтакого, что , где граница А;

6)

где ресть Леви Прохорова метрика.

Пусть U- замкнутый относительно пересечений класс подмножеств Sтакой, что всякое открытое множество из Sесть конечное или счетное объединение множеств из U. Тогда если при всех , то . Если функции распределения, отвечающие Р n и Рсоответственно, то тогда и только тогда, когда в каждой точке хнепрерывности функции F

Пусть пространство Sсепарабельно и класс ограниченных борелевских действительных функций на S. Для того чтобы равномерно по для всякой последовательност { Р n}такой, что , необходимо и достаточно, чтобы:

а)

б) где

и где Sx,eоткрытый шар радиуса e с центром в х. Если класс образован индикаторами множеств из нек-рого класса Е, то условия а) и б) сводятся к условию

где

(когда всякий открытый шар в Sсвязен,

. Если и распределение Р абсолютно непрерывно по мере Лебега, то тогда и только тогда, когда равномерно по всем борелевским выпуклым множествам А.

Пусть Р п, Р -- распределения на метрич. пространстве и h - непрерывное Р-почти всюду измеримое отображение Sв метрич. пространство ; тогда , где для любого распределения Qна Sраспределение Qh ^-1 есть его h-образ на :

для любого борелевского

Семейство распределений на Sназ. с л а б о о т н о с и т е л ь н о к о м п а к т н ы м, если всякая последовательность его элементов содержит слабо сходящуюся подпоследовательность. Условие слабой относительной компактности дает теорема Прохорова. Семейство наз. п л о т н ы м, если существует компакт KМS такой, что . Т е о р е м а П р о х о р о в а: если плотно, то оно относительно компактно, а если Sсепарабельно и полно, то слабая относительная компактность влечет его плотность. В случае, когда , семейство распределений слабо относительно компактно тогда и только тогда, когда соответствующее семейство характеристич. функций равностепенно непрерывно в нуле.

Пусть теперь Р n, Р распределения на измеримом пространстве (X, А), где Аесть s-алгебра. Под с х о-д и м о с т ь ю по в а р и а ц и и Р n к Р понимают равномерную сходимость по всем множествам из Аили, что равносильно, стремление вариации

к нулю; здесь и компоненты разложения Жордана Хана обобщенной меры Р п --Р.

Лит.:[1] Б и л л и н г с л и П., Сходимость вероятностных мер, пер. с англ., М., 1977; [2] Л о э в М., Теория вероятностей, пер. с англ., М.. 1962; [3] Б х а т т а ч а р и я Р. Н., Р. Р а н г а Р а о, Аппроксимация нормальным распределением и асимптотические разложения, пер. англ., 1982. В. В. Сазонов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985